Архив метки: Решение задач по школьному курсу математики

Решение неравенств. Метод интервалов

© Башаров А.М. 2014

Основная теорема алгебры

Полином N -ой степени
P_N(z)=z^N+C_{N-1}z^{N-1}+\ldots +C_1 z+C_0
с комплексными коэффициентами C_0,\, C_1,\, \ldots ,\, C_{N-1} имеет ровно N комплексных корней z_1,\,z_2,\,\ldots z_N и может быть записан как
P_N(z)=(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_N).
В контексте неравенств. Пусть все коэффициенты и переменная z\equiv x являются действительными величинами. Тогда
1. Если у P_N(x) действительных корней нет, то P_N(x)>0 и неравенства (и равенства) вида
u(x)P_N(x)>0 или u(x)P_N(x)\geq0 эквивалентны следующим:
u(x)>0 или u(x)\geq0.
2. Если есть действительный корень x_0. Тогда полином P_N(x). можно записать как
P_N(x)=(x-x_0)P_{N-1}(x),
где P_{N-1}(x) - полином N-1 степени с действительными коэффициентами. К нему следует применить предыдущие рассуждения.

Тестовая задача на метод интервалов

Решите неравенство

\frac{x(1-x)}{x+2}\geq0.

Ответ

Обобщение 1

Подумайте над рассмотренным выражением x-x_1 с точки зрения использованных в нем функций!
Подсказка

Обобщение 2

Подумайте, какие еще самые элементарные выражения имеют такой же знак, что и x-x_1 или f(x)-f(x_1).

Действительные корни полинома
с действительными коэффициентами

График функции y=P_N(x), где P_N(x)=x^N+C_{N-1}x^{N-1}+\ldots +C_1 x+C_0, а коэффициенты C_{N-1},\ldots,C_0 - действительные величины обязательно пересечет ось x в случае нечетного N. Это видно из следующих простых соображений. При больших x: \,x\leftarrow\pm\infty величина y определяется старшей степенью переменной, т.е. x^N. Поэтому y\leftarrow\pm\infty , соответственно. В силу непрерывности, график функции y=P_N(x) должен пересечь ось x хотя бы в одной точке.

Понятие строго монотонной функции

Функция f(x) называется строго монотонно возрастающей функцией на заданном множестве, если для любых x_1 и x_2 из этого множества, таких, что x_1>x_2 будет выполнено неравенство f(x_1)>f(x_2).

Функция g(x) называется строго монотонно убывающей функцией на заданном множестве, если для любых x_1 и x_2 из этого множества, таких, что x_1>x_2 будет выполнено неравенство g(x_1)<g (x_2). [su_spoiler icon="caret" title="Примеры строго монотонных функций"] Строго монотонно возрастающие функции x, x^3, \log_2 x, 3^x, \sqrt{x}.
Строго монотонно убывающие функции
-x, \frac{1}{x},-x^3, \log_{\frac{1}{2}} x, (\frac{1}{3})^x.
[/su_spoiler]

Решение неравенств. Метод интервалов. Математика и физика с Асхатом Башаровым
Проблемы, решаемые методом интервалов

Идеи метода интервалов от простейшего случая к общему

Типичные задачи

Читать далее Решение неравенств. Метод интервалов

Решение задач с подсказками и комментариями

Tutor

Новый раздел сайта - подробное решение задач с комментариями, подсказками и шпаргалками от Асхата Башарова.

Прежде чем решать задачу ученику предлагается
1. Охарактеризовать задачу и сравнить свое мнение с оценкой преподавателя.
2. Предлагается вспомнить необходимый материал для решения задачи и сравнить со шпаргалкой от преподавателя.
3. Решить задачу самостоятельно и сравнить с ответом.
4. Сравнить свое решение с решением и комментариями преподавателя.
5. Если непонятно как решать задачу, то посмотреть видео с примерами решения задач.
6. Если решить задачу не удалось, то смотреть подсказки преподавателя и выполнять решение поэтапно.

Материалы раздела
Решение варианта вступительного экзамена МГУ 2013 года.

Вступительные экзамены МГУ по математике

© Башаров А.М. 2014 (Методика, указания, решения)

Экономический факультет. Открытый экзамен 20 июня 2013 г. Вариант 1.

Tutor

Подробное решение задач с комментариями и шпаргалками.

Прежде чем открывать и смотреть очередной этап решения или комментария, дайте свой вариант и сравните.

Читать далее Вступительные экзамены МГУ по математике