Решение задач по школьному курсу математики Archives - Математика и физика с Асхатом Башаровым

Основная теорема алгебры

Полином

$N$ -ой степени

$P_N(z)=z^N+C_{N-1}z^{N-1}+\ldots +C_1 z+C_0$
с комплексными коэффициентами

$C_0,\, C_1,\, \ldots ,\, C_{N-1}$ имеет ровно

$N$ комплексных корней

$z_1,\,z_2,\,\ldots z_N$ и может быть записан как

$P_N(z)=(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_N)$ .
В контексте неравенств. Пусть все коэффициенты и переменная

$z\equiv x$ являются действительными величинами. Тогда
1. Если у

$P_N(x)$ действительных корней нет, то

$P_N(x)>0$ и неравенства (и равенства) вида

$u(x)P_N(x)>0$ или

$u(x)P_N(x)\geq0$ эквивалентны следующим:

$u(x)>0$ или

$u(x)\geq0$ .
2. Если есть действительный корень

$x_0$ . Тогда полином

$P_N(x)$ . можно записать как

$P_N(x)=(x-x_0)P_{N-1}(x)$ ,
где

$P_{N-1}(x)$ - полином

$N-1$ степени с действительными коэффициентами. К нему следует применить предыдущие рассуждения.

Тестовая задача на метод интервалов

Решите неравенство

$\frac{x(1-x)}{x+2}\geq0$ .

Ответ

$x\in(-\infty;-2)\cup[0;1]$ .

Обобщение 1

Подумайте над рассмотренным выражением

$x-x_1$ с точки зрения использованных в нем функций!

Подсказка

$x$ - это линейная функция

$f(x)=x$ , а

$x_1=f(x_1)$ .

Обобщение 2

Подумайте, какие еще самые элементарные выражения имеют такой же знак, что и

$x-x_1$ или

$f(x)-f(x_1)$ .

Действительные корни полинома
с действительными коэффициентами

График функции

$y=P_N(x)$ , где

$P_N(x)=x^N+C_{N-1}x^{N-1}+\ldots +C_1 x+C_0$ , а коэффициенты

$C_{N-1},\ldots,C_0$ - действительные величины обязательно пересечет ось

$x$ в случае нечетного

$N$ . Это видно из следующих простых соображений. При больших

$x: \,x\leftarrow\pm\infty$ величина

$y$ определяется старшей степенью переменной, т.е.

$x^N$ . Поэтому

$y\leftarrow\pm\infty$ , соответственно. В силу непрерывности, график функции

$y=P_N(x)$ должен пересечь ось

$x$ хотя бы в одной точке.

Понятие строго монотонной функции

Функция

$f(x)$ называется строго монотонно возрастающей функцией на заданном множестве, если для любых

$x_1$ и

$x_2$ из этого множества, таких, что

$x_1>x_2$ будет выполнено неравенство

$f(x_1)>f(x_2)$ .

Функция $g(x)$ называется строго монотонно убывающей функцией на заданном множестве, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких, что $x_1>x_2$ будет выполнено неравенство $g(x_1)<g (x_2)$ . [su_spoiler icon="caret" title="Примеры строго монотонных функций"] Строго монотонно возрастающие функции $x, x^3, \log_2 x, 3^x, \sqrt{x}$ .
Строго монотонно убывающие функции
$-x, \frac{1}{x},-x^3, \log_{\frac{1}{2}} x, (\frac{1}{3})^x$ .
[/su_spoiler]

Решение неравенств. Метод интервалов. Математика и физика с Асхатом Башаровым

Проблемы, решаемые методом интервалов

Идеи метода интервалов от простейшего случая к общему

Типичные задачи

Читать далее →

Новый раздел сайта - подробное решение задач с комментариями, подсказками и шпаргалками от Асхата Башарова.

Прежде чем решать задачу ученику предлагается
1. Охарактеризовать задачу и сравнить свое мнение с оценкой преподавателя.
2. Предлагается вспомнить необходимый материал для решения задачи и сравнить со шпаргалкой от преподавателя.
3. Решить задачу самостоятельно и сравнить с ответом.
4. Сравнить свое решение с решением и комментариями преподавателя.
5. Если непонятно как решать задачу, то посмотреть видео с примерами решения задач.
6. Если решить задачу не удалось, то смотреть подсказки преподавателя и выполнять решение поэтапно.

Материалы раздела
Решение варианта вступительного экзамена МГУ 2013 года.

Математика и физика с Асхатом Башаровым

Архив метки: Решение задач по школьному курсу математики

Решение неравенств. Метод интервалов

Решение задач с подсказками и комментариями

Вступительные экзамены МГУ по математике

Авторские учебные материалы для старшеклассников, студентов и аспирантов