Различные способы вывода уравнений, описывающих колебания математического маятника. Два способа решения уравнения гармонических колебаний. Стандартное усложнение задач на гармонические колебания. Математический маятник на тележке, скатывающейся по наклонной плоскости. Тележка в туннеле, прорытым в толще планеты. Математический маятник на тележке, движущейся в туннеле. Физический маятник
Прежде чем смотреть видео, попытайтесь самостоятельно
1. вывести уравнение движения математического маятника;
2. Решить задачи
Задача 1Задача 2Задача 3
Математический маятник и ограничивающее его движение плоскость
Математический маятник в тележке на наклонной плоскости
Математический маятник на тележке, движущейся в туннеле
Найдите максимальную скорость движения ракеты в космическом пространстве, если в единицу времени из сопла ракеты истекает \(\nu\) единиц массы газов с постоянной скоростью \(u\) относительно ракеты. Начальная масса ракеты \(M_0\), начальная скорость - нулевая. Внешними воздействиями пренебрегать. Запас топлива - \(m\).
>Указания12345КомментарииВидео
Ответ
\(V_{max}=u\ln\frac{M_0}{M_0-m}\).
Если ответ не совпал, проверьте свою последовательность действий. Сначала сформулируйте свой план, затем сравните его с предлагаемыми указаниями. Прежде чем смотреть результаты действий по указаниям, выполните указания самостоятельно.
1. Сформулируйте задачу своими словами и введите параметры
2. Рассмотрите малые приращения параметров в произвольный момент времени
3. Сформулируйте уравнения модели и начальные условия
4. Решите полученные уравнения
5. Проанализируйте решение
6. Обобщите модель
Формулировка задачи своими словами (вариант)
Вдоль оси \(X\) движется ракета. В момент времени \(t\) её координата - \(x(t)\), масса - \(M(t)\), проекция скорости на ось \(X\) - \(V(t)\). В единицу времени ракета отбрасывает в противоположном направлении оси \(X\) массу газов \(\nu\). Проекция скорости этих газов на ось \(X\) равна \(-u+V(t)\), поскольку \(-u\) есть проекция скорости этих газов на ось \(X\) в системе покоя ракеты.
Исследуемой системой здесь является ракета и отбрасываемые продукты сгорания топлива. Поскольку на ракету с топливом (сокращение для "отбрасываемых продуктов сгорания топлива") не действуют никакие внешние силы, то должен выполняться закон сохранения импульса, в частности проекции импульса на ось \(X\). Это значит, что приращение импульса системы на ось \(X\) должно равняться нулю. Дальше следует корректно записать приращение импульса системы.
Приращение импульса системы
Приращение импульса системы за время \(\Delta t\) складывается из приращения импульса ракеты и импульса вновь образовавшихся продуктов сгорания топлива. За время \(\Delta t\) сгорает \(\Delta m\) топлива, продукты сгорания которого истекают относительно ракеты со скоростью \(u\). Здесь изменением скорости ракеты за время \(\Delta t\) в импульсе продуктов сгорания можно пренебречь, т.к. это вносит вклад в приращение импульса второго порядка по \(\Delta t\). В результате
\(\Delta(M(t)V(t))+(\Delta m)v_x=0\),
\(v_x=-u+V(t) \) – проекция скорости отбрасываемых продуктов сгорания на ось \(X\),
\(\Delta m\) – масса отбрасываемых продуктов сгорания за время \(\Delta t\). По определению величины \(\nu :\,\Delta m=\nu \Delta t\).
Уравнения и начальные условия
Преобразуем уравнение
\(\Delta(M(t)V(t))+(\Delta m)v_x=0\).
По правилу Лейбница для малых приращений
\(\Delta(M(t)V(t))=(\Delta(M(t))V(t)+M(t)\Delta V(t)\).
Поскольку \(\Delta M(t)=-\Delta m, \, \Delta m=\nu \Delta t\),
\(M(t)=M_0-\nu t\) и \(v_x=-u+V(t) \), то
\(-\Delta(m(t))V(t)+M(t)\Delta V(t)+(\Delta m)(-u+V(t))=0\).
Окончательно, получаем уравнение реактивного движения
\(M(t)\Delta V(t)=u\nu\Delta t,\, M(t)=M_0-\nu t\).
Начальным условием к нему служит равенство:
\(V(0)=0\).
Решение уравнения реактивного движения
Стандартная идея решения дифференциального уравнения
Дифференциальные уравнения (уравнения в приращениях) сводим к базовому уравнению в приращениях вида .
Для этого используем стандартные правила:
для произвольных приращений «хороших» функций , ;
для малых приращений аргументов «хороших» функций ; .
Подчеркнем, что и в исходном уравнении, и в базовом уравнении рассматриваются малые приращения, когда справедливо равенство .
Переписываем уравнение в виде:
\(\frac{\Delta V(t)}{u}=-\frac{\Delta(-\nu t)}{M_0-\nu t}=-\frac{\Delta(M_0-\nu t)}{M_0-\nu t}=-\Delta\ln(M_0-\nu t) \).
В результате
\(\frac{V(t)}{u}=-\Delta\ln(M_0-\nu t)+const\).
Из начальных условий при \(t=0\) следует
\(0=-\Delta M_0+const\), так что окончательно
\(V(t)=u\ln\frac{M_0}{M_0-\nu t} \).
Поскольку эта функция – возрастающая функция \(t\), то максимальная значение скорость ракеты такая:
\(V_{max}=u\ln\frac{M_0}{M_0-m}\).
Анализ решения
Если изменение массы ракеты мало \(m\ll M_0\), то
\(\ln\frac{M_0}{M_0-m}\approx\frac{m}{M_0}\), так что
\(V_{max}\approx u\frac{m}{M_0}\).
Это - стандартный закон сохранения импульса в случае, когда покоящаяся масса \(M_0+m\) «взрывается» и мгновенно разлетается на массу \(m\), которая летит со скоростью \(u\) противоположно массе \(M_0\), получившей скорость \(V_{max}\).
\(M_0V_{max}=mu\). При этом скорость \(u\) есть именно скорость относительно начальной скорости покоящейся массы \(M_0+m\).
Уравнение реактивного движения можно переписать так
\(M(t)\frac{\Delta\overrightarrow{V(t)}}{\Delta t}=\overrightarrow{F_{rf}}\),
где введена реактивная сила
\(\overrightarrow{F_{rf}}=-\overrightarrow{u}\nu\).
Если дополнительно учесть силу тяжести, то
\(M(t)\frac{\Delta\overrightarrow{V(t)}}{\Delta t}=\overrightarrow{F_{rf}}+M(t)\overrightarrow{g}\).
Это уравнение называют уравнением Мещерского.
Про законы Ньютона и их обобщение (минуты)
1.33-3.40; 10.07-12.30; 36.30-38.10;55.40-58.40
Про движение ракеты и реактивную тягу (минуты)
24.00-41.00
Обоснование следствий из законов Ньютона для системы тел:
1. Закон сохранения энергии, в котором паре сил взаимодействия внутри системы и их работе отвечает только одна потенциальная энергия.
2. Понятия центра масс системы, импульса системы и закона сохранения импульса и проекции импульса на фиксированную ось.
3. Деление сил на ограниченные и неограниченные в теории удара. Подробно рассмотрены решения базовых задач.
Механика = уравнения связи + уравнения динамики (уравнения Ньютона). Два варианта лекций на эту тему. В каждой лекции - подробный разбор разных (не повторяющихся) задач с четкой формулировкой уравнений связи их отделением от уравнений динамики.
Примеры решения задач по физике. Темы - кинематика, электростатика и магнитостатика. Подчеркивается, что для успешного решения задачи важно для себя сформулировать условие задачи в терминах теоретического минимума по темам, которые упоминаются в условии задачи. Рассмотренные примеры взяты из олимпиады МИФИ в форме ЕГЭ 2009 г. и досрочного ЕГЭ 2014 г.
Задачи, в которых надо четко представлять отличия сил трения покоя и скольжения. Некоторые простые задачи на статику. Большинство рассмотренных примеров подходит для подготовке к ЕГЭ
Поделиться "Простые задачи на статику и силы трения"
Подробное рассмотрение вычисления работы силы исходя из определения на примерах самой простой и более сложных задач. Видна техника работы с суммами элементарных работ (интегрированием). Дополнение к видео-сюжету про анализ уравнений Ньютона в случае одной материальной точки.
Пример анализа уравнений Ньютона, который я излагаю старшеклассникам и студентам 1 курса. Главное - показать, что понятия кинетической и потенциальной энергий естественно следуют из элементарного анализа второго закона Ньютона... Несмотря на неизбежные опечатки и оговорки, данное видео дает общее представление о характере моего изложения любой темы - я стараюсь всё (все формулы, законы и т.п.) выводить и показывать некоторую однозначность и логичность осуществляемых при этом действий ... Из-за некоторой усталости (или лени) я не стал анализировать, как я обычно делаю, ответ базовой задачи, приведенной в конце записи этого сюжета. Такой анализ я приведу в других сюжетах…
Авторские учебные материалы для старшеклассников, студентов и аспирантов
