Полином $N$-ой степени
$P_N(z)=z^N+C_{N-1}z^{N-1}+\ldots +C_1 z+C_0$
с комплексными коэффициентами $C_0,\, C_1,\, \ldots ,\, C_{N-1}$ имеет ровно $N$ комплексных корней $z_1,\,z_2,\,\ldots z_N$ и может быть записан как
$P_N(z)=(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_N)$.
В контексте неравенств. Пусть все коэффициенты и переменная $z\equiv x$ являются действительными величинами. Тогда
1. Если у $P_N(x)$ действительных корней нет, то $P_N(x)>0$ и неравенства (и равенства) вида
$u(x)P_N(x)>0$ или $u(x)P_N(x)\geq0$ эквивалентны следующим:
$u(x)>0$ или $u(x)\geq0$.
2. Если есть действительный корень $x_0$. Тогда полином $P_N(x)$. можно записать как
$P_N(x)=(x-x_0)P_{N-1}(x)$,
где $P_{N-1}(x)$ - полином $N-1$ степени с действительными коэффициентами. К нему следует применить предыдущие рассуждения.

Решите неравенство

$\frac{x(1-x)}{x+2}\geq0$.

Подумайте над рассмотренным выражением $x-x_1$ с точки зрения использованных в нем функций!

Подумайте, какие еще самые элементарные выражения имеют такой же знак, что и $x-x_1$ или $f(x)-f(x_1)$.

График функции $y=P_N(x)$, где $P_N(x)=x^N+C_{N-1}x^{N-1}+\ldots +C_1 x+C_0$, а коэффициенты $C_{N-1},\ldots,C_0$ - действительные величины обязательно пересечет ось $x$ в случае нечетного $N$. Это видно из следующих простых соображений. При больших $x: \,x\leftarrow\pm\infty$ величина $y$ определяется старшей степенью переменной, т.е. $x^N$. Поэтому $y\leftarrow\pm\infty$, соответственно. В силу непрерывности, график функции $y=P_N(x)$ должен пересечь ось $x$ хотя бы в одной точке.

Функция $f(x)$ называется строго монотонно возрастающей функцией на заданном множестве, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких, что $x_1>x_2$ будет выполнено неравенство $f(x_1)>f(x_2)$.

Функция $g(x)$ называется строго монотонно убывающей функцией на заданном множестве, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких, что $x_1>x_2$ будет выполнено неравенство $g(x_1)<g (x_2)$. [su_spoiler icon="caret" title="Примеры строго монотонных функций"] Строго монотонно возрастающие функции $x, x^3, \log_2 x, 3^x, \sqrt{x}$.
Строго монотонно убывающие функции
$-x, \frac{1}{x},-x^3, \log_{\frac{1}{2}} x, (\frac{1}{3})^x$.
[/su_spoiler]