Проводим из вершины прямого угла отрезок прямой, составляющий с катетом CA угол, равный углу CAB заданного прямоугольного треугольника ABC. В результате получим равнобедренный треугольник ACM с углами при основании $\alpha$. Но другой треугольник, получающийся при таком построении, также будет равнобедренным, поскольку каждый его угол при основании равен $d-\alpha$ (по свойству углов прямоугольного треугольника и по построению - из прямого угла «вычли» угол $\alpha$). В силу того, что треугольники BMC и AMC равнобедренные с общей стороной MC имеем равенство MB=MA=MC, т.е. MC – медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, и она равна половине гипотенузы.
Следствие 1. Середина гипотенузы является центром окружности, описанной вокруг этого треугольника, поскольку получилось, что середина гипотенузы равноудалена от вершин прямоугольного треугольника.
Следствие 2. Средняя линия прямоугольного треугольника, соединяющая середину гипотенузы и середину катета, параллельна противоположному катету и равна его половине.
Опустим в равнобедренных треугольниках BMC и AMC высоты MH и MG на основания. Поскольку в равнобедренном треугольнике, высота, опущенная на основание, является также и медианой (и биссектрисой), то MH и MG –линии прямоугольного треугольника, соединяющие середину гипотенузы с серединами катетов. По построению они оказываются параллельными противоположным катетам и равные их половинам, поскольку треугольники равны MHC и MGC равны (причем MHCG – прямоугольник). Этот результат является основанием для доказательства теоремы о средней линии произвольного треугольника и, далее, средней линии трапеции и свойства пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на двух пересекающих их прямых.

Треугольники со сторонами штрихованными и с не штрихованными подобны по равенству двух углов. Поэтому $\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c},$ откуда

$$\frac{a'}{c'}=\frac{a}{c},\,\frac{b'}{c'}=\frac{b}{c},\,\frac{b'}{a'}=\frac{b}{a}.$$

Это значит, что указанные отношения зависят лишь от острого угла прямоугольного треугольника и по сути определяют его. Это одно из оснований появления тригонометрических функций:

$$\sin\alpha=\frac{a'}{c'}=\frac{a}{c}=\cos\beta,\,\cos\alpha=\frac{b'}{c'}=\frac{b}{c}=\sin\beta,$$

$$\mathrm{tg}\beta=\frac{b'}{a'}=\frac{b}{a}=\mathrm{ctg}\alpha.$$

Часто запись тригонометрических функций угла в подобных прямоугольных треугольниках наглядней записи соотношений подобия !

Опустим на гипотенузу AB высоту CH. Имеем три подобных треугольника ABC, AHC и CHB. Запишем выражения для тригонометрических функций:

$$\cos\beta=\frac{c_1}{a}=\frac{a}{c},\,\cos\alpha=\frac{c_2}{b}=\frac{b}{c}.$$

Отсюда видно, что $a^2=c_1c,\,b^2=c_2c$. Складывая, получаем теорему Пифагора, поскольку $c_1+c_2=c$:

$a^2+b^2=(c_1+c_2)c=c^2$.

Треугольники со сторонами штрихованными и с не штрихованными подобны по равенству двух углов. Поэтому $\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c},$ откуда

$$\frac{a'}{c'}=\frac{a}{c},\,\frac{b'}{c'}=\frac{b}{c},\,\frac{b'}{a'}=\frac{b}{a}.$$

Это значит, что указанные отношения зависят лишь от острого угла прямоугольного треугольника и по сути определяют его. Это одно из оснований появления тригонометрических функций:

$$\sin\alpha=\frac{a'}{c'}=\frac{a}{c}=\cos\beta,\,\cos\alpha=\frac{b'}{c'}=\frac{b}{c}=\sin\beta,$$

$$\mathrm{tg}\beta=\frac{b'}{a'}=\frac{b}{a}=\mathrm{ctg}\alpha.$$

Часто запись тригонометрических функций угла в подобных прямоугольных треугольниках наглядней записи соотношений подобия !

Опустим на гипотенузу AB высоту CH. Имеем три подобных треугольника ABC, AHC и CHB. Запишем выражения для тригонометрических функций:

$$\cos\beta=\frac{c_1}{a}=\frac{a}{c},\,\cos\alpha=\frac{c_2}{b}=\frac{b}{c}.$$

Отсюда видно, что $a^2=c_1c,\,b^2=c_2c$. Складывая, получаем теорему Пифагора, поскольку $c_1+c_2=c$:

$a^2+b^2=(c_1+c_2)c=c^2$.

Проводим из вершины прямого угла отрезок прямой, составляющий с катетом CA угол, равный углу CAB заданного прямоугольного треугольника ABC. В результате получим равнобедренный треугольник ACM с углами при основании $\alpha$. Но другой треугольник, получающийся при таком построении, также будет равнобедренным, поскольку каждый его угол при основании равен $d-\alpha$ (по свойству углов прямоугольного треугольника и по построению - из прямого угла «вычли» угол $\alpha$). В силу того, что треугольники BMC и AMC равнобедренные с общей стороной MC имеем равенство MB=MA=MC, т.е. MC – медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, и она равна половине гипотенузы.
Следствие 1. Середина гипотенузы является центром окружности, описанной вокруг этого треугольника, поскольку получилось, что середина гипотенузы равноудалена от вершин прямоугольного треугольника.
Следствие 2. Средняя линия прямоугольного треугольника, соединяющая середину гипотенузы и середину катета, параллельна противоположному катету и равна его половине.
Опустим в равнобедренных треугольниках BMC и AMC высоты MH и MG на основания. Поскольку в равнобедренном треугольнике, высота, опущенная на основание, является также и медианой (и биссектрисой), то MH и MG –линии прямоугольного треугольника, соединяющие середину гипотенузы с серединами катетов. По построению они оказываются параллельными противоположным катетам и равные их половинам, поскольку треугольники равны MHC и MGC равны (причем MHCG – прямоугольник). Этот результат является основанием для доказательства теоремы о средней линии произвольного треугольника и, далее, средней линии трапеции и свойства пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на двух пересекающих их прямых.