Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник
Любой треугольник всегда можно представить как «сумму» или «разность» двух прямоугольных треугольников – достаточно провести высоту. Поэтому многие свойства произвольных треугольников и многоугольников следуют из свойств прямоугольного треугольника и высот произвольного треугольника.
В логике теорем | Для решения задач | Задачи | Комментарии
1 Дополнительное построение, ведущее к теореме о средней линии треугольника, трапеции и свойствам подобия треугольников.
Прямоугольный треугольник
Проводим из вершины прямого угла отрезок прямой, составляющий с катетом CA угол, равный углу CAB заданного прямоугольного треугольника ABC. В результате получим равнобедренный треугольник ACM с углами при основании \alpha. Но другой треугольник, получающийся при таком построении, также будет равнобедренным, поскольку каждый его угол при основании равен d-\alpha (по свойству углов прямоугольного треугольника и по построению - из прямого угла «вычли» угол \alpha). В силу того, что треугольники BMC и AMC равнобедренные с общей стороной MC имеем равенство MB=MA=MC, т.е. MC – медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, и она равна половине гипотенузы.
Следствие 1. Середина гипотенузы является центром окружности, описанной вокруг этого треугольника, поскольку получилось, что середина гипотенузы равноудалена от вершин прямоугольного треугольника.
Следствие 2. Средняя линия прямоугольного треугольника, соединяющая середину гипотенузы и середину катета, параллельна противоположному катету и равна его половине.
PL08
Опустим в равнобедренных треугольниках BMC и AMC высоты MH и MG на основания. Поскольку в равнобедренном треугольнике, высота, опущенная на основание, является также и медианой (и биссектрисой), то MH и MG –линии прямоугольного треугольника, соединяющие середину гипотенузы с серединами катетов. По построению они оказываются параллельными противоположным катетам и равные их половинам, поскольку треугольники равны MHC и MGC равны (причем MHCG – прямоугольник). Этот результат является основанием для доказательства теоремы о средней линии произвольного треугольника и, далее, средней линии трапеции и свойства пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на двух пересекающих их прямых.

2 Все прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом - подобны. Взгляд на тригонометрические функции.
Прямоугольный треугольник
Треугольники со сторонами штрихованными и с не штрихованными подобны по равенству двух углов. Поэтому \frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}, откуда

\frac{a'}{c'}=\frac{a}{c},\,\frac{b'}{c'}=\frac{b}{c},\,\frac{b'}{a'}=\frac{b}{a}.

Это значит, что указанные отношения зависят лишь от острого угла прямоугольного треугольника и по сути определяют его. Это одно из оснований появления тригонометрических функций:

\sin\alpha=\frac{a'}{c'}=\frac{a}{c}=\cos\beta,\,\cos\alpha=\frac{b'}{c'}=\frac{b}{c}=\sin\beta,

\mathrm{tg}\beta=\frac{b'}{a'}=\frac{b}{a}=\mathrm{ctg}\alpha.

Часто запись тригонометрических функций угла в подобных прямоугольных треугольниках наглядней записи соотношений подобия !

3 Пример дополнительного построения - высота, опущенная на гипотенузу. Вывод теоремы Пифагора на основе подобия треугольников.
Прямоугольный треугольник
Опустим на гипотенузу AB высоту CH. Имеем три подобных треугольника ABC, AHC и CHB. Запишем выражения для тригонометрических функций:

\cos\beta=\frac{c_1}{a}=\frac{a}{c},\,\cos\alpha=\frac{c_2}{b}=\frac{b}{c}.

Отсюда видно, что a^2=c_1c,\,b^2=c_2c. Складывая, получаем теорему Пифагора, поскольку c_1+c_2=c:

a^2+b^2=(c_1+c_2)c=c^2.

1Все прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом - подобны. Взгляд на тригонометрические функции.
Прямоугольный треугольник
Треугольники со сторонами штрихованными и с не штрихованными подобны по равенству двух углов. Поэтому \frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}, откуда

\frac{a'}{c'}=\frac{a}{c},\,\frac{b'}{c'}=\frac{b}{c},\,\frac{b'}{a'}=\frac{b}{a}.

Это значит, что указанные отношения зависят лишь от острого угла прямоугольного треугольника и по сути определяют его. Это одно из оснований появления тригонометрических функций:

\sin\alpha=\frac{a'}{c'}=\frac{a}{c}=\cos\beta,\,\cos\alpha=\frac{b'}{c'}=\frac{b}{c}=\sin\beta,

\mathrm{tg}\beta=\frac{b'}{a'}=\frac{b}{a}=\mathrm{ctg}\alpha.

Часто запись тригонометрических функций угла в подобных прямоугольных треугольниках наглядней записи соотношений подобия !

2Пример дополнительного построения - высота, опущенная на гипотенузу. Вывод теоремы Пифагора на основе подобия треугольников.
Прямоугольный треугольник
Опустим на гипотенузу AB высоту CH. Имеем три подобных треугольника ABC, AHC и CHB. Запишем выражения для тригонометрических функций:

\cos\beta=\frac{c_1}{a}=\frac{a}{c},\,\cos\alpha=\frac{c_2}{b}=\frac{b}{c}.

Отсюда видно, что a^2=c_1c,\,b^2=c_2c. Складывая, получаем теорему Пифагора, поскольку c_1+c_2=c:

a^2+b^2=(c_1+c_2)c=c^2.

Другое доказательство теоремы Пифагора см.в комментарии к задаче 4.
3Важный пример дополнительного построения – построение угла, равного одному из углов треугольника.
Прямоугольный треугольник
Проводим из вершины прямого угла отрезок прямой, составляющий с катетом CA угол, равный углу CAB заданного прямоугольного треугольника ABC. В результате получим равнобедренный треугольник ACM с углами при основании \alpha. Но другой треугольник, получающийся при таком построении, также будет равнобедренным, поскольку каждый его угол при основании равен d-\alpha (по свойству углов прямоугольного треугольника и по построению - из прямого угла «вычли» угол \alpha). В силу того, что треугольники BMC и AMC равнобедренные с общей стороной MC имеем равенство MB=MA=MC, т.е. MC – медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, и она равна половине гипотенузы.
Следствие 1. Середина гипотенузы является центром окружности, описанной вокруг этого треугольника, поскольку получилось, что середина гипотенузы равноудалена от вершин прямоугольного треугольника.
Следствие 2. Средняя линия прямоугольного треугольника, соединяющая середину гипотенузы и середину катета, параллельна противоположному катету и равна его половине.
PL08
Опустим в равнобедренных треугольниках BMC и AMC высоты MH и MG на основания. Поскольку в равнобедренном треугольнике, высота, опущенная на основание, является также и медианой (и биссектрисой), то MH и MG –линии прямоугольного треугольника, соединяющие середину гипотенузы с серединами катетов. По построению они оказываются параллельными противоположным катетам и равные их половинам, поскольку треугольники равны MHC и MGC равны (причем MHCG – прямоугольник). Этот результат является основанием для доказательства теоремы о средней линии произвольного треугольника и, далее, средней линии трапеции и свойства пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на двух пересекающих их прямых.


Задачи
Использование свойств подобия -1
Использование основных свойств - 2
Использование дополнительного построения 3-4

1234
Высота, опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна корню квадратном из длин отрезков, на которые она делит гипотенузу.
Решение
Найти геометрическое место точек (ГМТ) пересечения медиан всевозможных прямоугольных треугольников, гипотенуза АВ которых зафиксирована.
Решение
В неравнобедренном прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены медиана, биссектриса и высота.
а)Докажите, что биссектриса делит угол между медианой и высотой пополам.
б) Покажите, что верно и обратное, т.е. если из вершины С неравнобедренного треугольника проведена биссектриса, которая делит угол между медианой и высотой, проведенными из той же вершины, пополам, то угол С - прямой.
Доказательство утверждения а)
Доказательство утверждения б)

На гипотенузе прямоугольного треугольника как на стороне во внешнюю сторону построен квадрат. Докажите, что отрезок, соединяющий вершину прямого угла треугольника с центром квадрата, делит этот угол пополам.
Рисунок
Дополнительное построение
Комментарии
Исторические комментарии
Исчисление прямоугольных треугольников Виета и его интерпретация