Задачи на приращения, дифференциал и производные

Без уверенного владения техникой приращений
невозможно понимание физики !
Это - основной математический аппарат физики !

Задачи
  • Базовые задачи
  • Вычисления по определениюпо правиламОсновные правила
    1Вычислить приращение, дифференциал и производную функции:

    1.1. f(x)=c, где c=const. Решение
    f(x+\Delta x)=c,\, \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),
    \Delta f(x)=\Delta c=c-c=0,\, dc=0,\, c'=0.
    1.2. f(x)=bx, где b=const. Решение
    f(x+\Delta x)=b(x+\Delta x),
    \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),
    \Delta f(x)=b(x+\Delta x)-bx=b\Delta x. Итак
    \Delta (bx)=b\Delta x,\, d(bx)=bdx,\, (bx)'=b.
    1.3. f(x)=ax^2, где a=const. Решение
    f(x+\Delta x)=a(x+\Delta x)^2,
    \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),
    \Delta f(x)=a(x+\Delta x)^2-ax^2=2ax\Delta x+a(\Delta x)^2. Итак
    \Delta (ax^2)=2ax\Delta x+a(\Delta x)^2,\, d(ax^2)=2axdx,
    (ax^2)'=2ax.
    1.4. f(x)=ax^2+bx+c, где a,b,c=const. Решение
    f(x+\Delta x)=a(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)+c,
    \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),
    \Delta f(x)=a(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)+c-ax^2-bx-c
    \Delta f(x)=(2ax+b)\Delta x+a(\Delta x)^2. В результате
    \Delta (ax^2+bx+c)=(2ax+b)\Delta x+a(\Delta x)^2,
    d(ax^2+bx+c)=(2ax+b)dx,
    (ax^2+bx+c)'=2ax+b.
    1.5. f(x)=\frac{c}{x}\, , где c=const. Решение
    f(x+\Delta x)=\frac{c}{x+\Delta x},\, \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),
    \Delta f(x)=\frac{c}{x+\Delta x}-\frac{c}{x}=\frac{-c\Delta x}{x(x+\Delta x)}=\frac{-c\Delta x}{x^2(1+\Delta x/x)}. Запишем полученное выражение как
    \Delta f(x)=\frac{-c\Delta x}{x^2}\frac{1}{1+\Delta x/x}.
    Из формулы для суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии
    \frac{1}{1+\Delta x/x}=1-\frac{\Delta x}{x}+(\frac{\Delta x}{x})^2-(\frac{\Delta x}{x})^3+\ldots, так что
    \Delta f(x)\equiv \Delta\frac{c}{x}=-\frac{c\Delta x}{x^2}+\frac{c(\Delta x)^2}{x^3}-\frac{c(\Delta x)^3}{x^4}+\ldots
    d\frac{c}{x}=-\frac{cdx}{x^2}\, ,\, (\frac{c}{x})'=-\frac{c}{x^2}.

    2Вычислить дифференциал и производную функции:

    2.1. f(x)=x^n\, , где n - натуральное число. Решение
    f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^n=
    =(x+\Delta x)\cdot(x+\Delta x)\cdot\ldots\cdot(x+\Delta x)
    Всего перемножается n скобок. Если из каждой скобки взять по одному слагаемому и перемножить, то получим 2^n слагаемых. Среди них будет ровно n штук вида x^{n-1}\Delta x. Почему? Чтобы получить слагаемое, содержащее ровно одну величину \Delta x, надо только из одной скобки выбрать \Delta x, а из оставшихся x. Оставшихся скобок n-1 штука, а возможности выбора \Delta x определяются числом скобок n. Поэтому имеем
    \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)=nx^{n-1}\Delta x+\ldots Здесь тремя точками \ldots обозначены слагаемые, содержащие \Delta x в квадрате, кубе и т.д. до степени n включительно. Главное - слагаемые, отмеченные тремя точками не содержат линейных по \Delta x слагаемых! В результате имеем
    d(x^n)=nx^{n-1}dx\, ,\, (x^n)'=nx^{n-1},
    \Delta (x^n)=d(x^n)+\ldots
    2.2. f(x)=x^{-n}\, , где n - натуральное число. Решение
    f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^{-n}=\frac{1}{(x+\Delta x)^n},
    \Delta f(x)=\frac{1}{(x+\Delta x)^n}-\frac{1}{x^n}=-\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{x^n(x+\Delta x)^n},
    \Delta f(x)=-\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{x^{2n}}(\frac{1}{1+\Delta x/x})^n
    =-\frac{nx^{n-1}\Delta x+\ldots}{x^{2n}}(\frac{1}{1+\Delta x/x})^n. Множитель (\frac{1}{1+\Delta x/x})^n=(1-\frac{\Delta x}{x}+\ldots)^n состоит из единицы и слагаемых, содержащие различные натуральные степени \Delta x. Поэтому линейное по \Delta x слагаемое в \Delta f(x) имеет вид
    d(x^{-n})=-nx^{-1-n}dx,\, (x^{-n})'=-nx^{-n-1},
    \Delta (x^{-n})=d(x^{-n})+\ldots
    Как обычно, три точки \ldots обозначают слагаемые, содержащие степени не ниже второй от величины \Delta x\equiv dx.
    2.3. f(x)=x^{1/n}\, , где n - натуральное число, а x\geq 0. Решение
    Введем y=x^{1/n}. По определению обратной функции (или корня  n -ой степени) x=y^n, так что
    \Delta x=ny^{n-1}\Delta y +\ldots Как обычно, три точки обозначают слагаемые, содержащие  \Delta y в степенях 2, 3 и выше. Отсюда
    \Delta y=\frac{1}{n}y^{1-n}\Delta x +\ldots=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\Delta x +\ldots Здесь под слагаемыми, обозначенными тремя точками можно считать слагаемые, содержащие множители  \Delta x в степенях, выше первой (т.е.2, 3, и т.д.), если предполагать справедливость разложения
    \Delta f(x)=f'(x)\Delta x+\ldots Поэтому получаем
    d(x^{1/n})=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\Delta x , \, (x^{1/n})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1},\, \Delta x \equiv dx.

    3Вычислить дифференциал и производную функции:

    3.1. F(x)=f(g(x)), если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы. Решение
    В силу дифференцируемости имеем представления
    \Delta f(x)=f'(x)\Delta x+\ldots,\, \Delta g(x)=g'(x)\Delta x+\ldots, где тремя точками обозначены слагаемые, содержащие  \Delta x в степенях от второй и выше.
    Рассмотрим приращение
    \Delta F(x)=f(g(x+\Delta x))-f(g(x))=
    =f(g(x)+\Delta g(x))-f(g(x))=f'_g(g(x))\Delta g(x)+\ldots Здесь нижний индекс у производной f'(g) подчеркивает, что переменной, по которой берется производная, является именно g. Три точки обозначают слагаемые, содержащие, по сравнению с выписанным слагаемым, более высокие степени \Delta g(x). Если учесть представление для \Delta g(x), то те три точки можно рассматривать как слагаемые, содержащие степени \Delta x выше первой. В результате
    \Delta F(x)=f'_g(g(x))g'(x)\Delta x+\ldots\,, так что
    df(g(x))=f'_g(g(x))dg(x),\, F'(x)=f'_g(g(x))g'(x) .
    3.2. F(x)=f(x)g(x), если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы. Решение
    В силу дифференцируемости имеем представления
    \Delta f(x)=f'(x)\Delta x+\ldots,\, \Delta g(x)=g'(x)\Delta x+\ldots, где тремя точками обозначены слагаемые, содержащие  \Delta x в степенях от второй и выше.
    Рассмотрим приращение
    \Delta F(x)=f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x))=
    =(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x)g(x)=
    =f(x)\Delta g(x)+(\Delta f(x))g(x)+(\Delta f(x))(\Delta g(x))=
    =f(x)g'(x)\Delta x+f'(x)g(x)\Delta x+\ldots
    Тремя точками \ldots обозначены слагаемые, содержащие \Delta x в квадрате, кубе и т.д. Подчеркнем, что это, вообще говоря, другие слагаемые, нежели в выписанных выше формулах. В результате имеем
    d(f(x)g(x))=(df(x))g(x)+f(x)dg(x) ,
    (f(x)g(x))'=f'(x)g(x))+f(x)g'(x).
    3.3. f(x)=e^x и g(x)=\ln x . Решение
    По определению (e^x)'=e^x, так что de^x=e^x dx.
    Пусть y=e^x,\, x=\ln y. Имеем
    \Delta y=e^x \Delta x+\ldots\, ,\, \Delta x =\Delta y/e^x+\ldots=\frac{\Delta y}{y} +\ldots
    d\ln y=\frac{dy}{y},\, (\ln y)'=\frac{1}{y}.
    Переобозначая переменную, получаем окончательно
    d\ln x=\frac{dx}{x},\, (\ln x)'=\frac{1}{x}.
    1Вычислить дифференциал функции f(x), если g(x) – дифференцируемая функция:

    1.1. f(x)=g(x)^n. Решение
    Если g – независимая переменная, то df(x)=n[g(x)]^{n-1}dg(x). Поскольку dg(x)=g'(x)dx, то df(x)= n[g(x)]^{n-1}g'(x)dx. Отсюда - производная [g(x)^n]'= n[g(x)]^{n-1}g'(x). То же следует и по правилам дифференцирования сложной функции.
    1.2. f(x)=e^{g(x)}. Решение
    Если g – независимая переменная, то df(x)=e^{g(x)}dg(x). Поскольку dg(x)=g'(x)dx, то df(x)= e^{g(x)}g'(x)dx. Отсюда - производная [e^{g(x)}]'= e^{g(x)}g'(x). То же и по правилам дифференцирования сложной функции.
    1.3. f(x)=\sin(g(x)). Решение
    Если g – независимая переменная, то df(x)= \cos(g(x))dg(x). Поскольку dg(x)=g'(x)dx, то df(x)= \cos(g(x))g'(x)dx. По формуле дифференцирования сложной функции. f'(x)=\cos(g(x))g'(x). То же из определения дифференциала df(x)=f'(x)dx= \cos(g(x))g'(x)dx.
    1.4. f(x)=h((g(x)). Решение
    Если g – независимая переменная, то df(x)=\frac{dh}{dg}dg(x). Поскольку dg(x)=g'(x)dx, то df(x)=h'_g g'(x)dx.

    2Вычислить производную и дифференциал сложной функции f(x), если g(x) и h(x) – дифференцируемые функции:

    2.1. f(x)=[g(x)^n]e^{h(x)}. Решение
    По формуле Лейбница дифференцирования произведения и на основе предыдущих результатов: f'(x)=n[g(x)]^{n-1}g'(x)e^{h(x)}+ [g(x)^n]e^{h(x)}h'(x), df(x)=f'(x)dx.
    2.2. f(x)=\frac{h(x)}{g(x)}. Решение
    По формуле Лейбница дифференцирования произведения f(x)= h(x)\frac{1}{g(x)} и на основе предыдущих результатов имеем: f'(x)=h'(x) \frac{1}{g(x)} +h(x)(-1) [g(x)]^{-2}g'(x)=\frac{h'(x)g(x)-h(x)g'(x)}{g^2(x)}, df(x)=f'(x)dx. Это – один из выводов формулы дифференцирования дроби!
    2.3. f(x)=[h(x)]^{g(x)}, h(x)>0. Решение
    Среди правил нет правил дифференцирования подобных функций, но есть основное правило-определение экспоненты. Поэтому запишем функцию в виде f(x)=e^{\ln [h(x)]^{g(x)}}=e^{g(x)\ln h(x)}. По формуле дифференцирования сложной функции и правилу Лейбница. f'(x)= e^{g(x)\ln h(x)}[g'(x)\ln h(x)+g(x)\frac{h'(x)}{h(x)}, df(x)=f'(x)dx.

    3Вычислить производную функции f(x):

    3.1. f(x)=(x^2+5)^3. Решение
    По формуле дифференцирования сложной функции. f'(x)=3(x^2+5)^2 2x.
    3.2. f(x)=\ln(3x^2+5x+7). Решение
    По формуле дифференцирования сложной функции. f'(x)=\frac{3\cdot 2x +5}{3x^2+5x+7).
    3.3. f(x)=\tan x. Решение
    f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}. По формуле дифференцирования дроби: f'(x)=\frac{\cos^2x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2x}.
    3.4. f(x)=\sin^5[(3x^2+7x+11)^3]. Решение
    По формуле дифференцирования сложной функции :
    f'(x)=5[\sin^4[(3x^2+7x+11)^3]] [\cos (3x^2+7x+11)^3]\cdot
    \cdot 3[3x^2+7x+11)^2](3\cdot 2x +7).
    3.5. f(x)=(x^2)^{3x}, x\neq 0. Решение
    Представим иначе исходную функцию:
    f(x)=e^{\ln(x^2)^{3x}}=e^{6x\ln|x|}. Откуда по формуле дифференцирования сложной функции : f'(x)= e^{6x\ln|x|}(6\ln|x|+6)=(x^2)^{3x}(\ln (x^6)+6).
    1 Производные основных функций:

    1.1. (C)'=0,\, C=\mathrm{const}.
    1.2. (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}.
    1.3. (e^x)'= e^x .
    1.4. (\ln |x|)'= \frac{1}{x}.

    2 Основные правила дифференцирования:

    2.1. (Cf(x))'= Cf'(x)),\, C=\mathrm{const}.
    2.2. (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).
    2.3. Правило Лейбница:
    (f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+ f(x)\cdot g'(x).
    2.4. Правило дифференцирования сложной функции:
    (f(g(x)))'=f'_g\cdot g'(x).

    Первообразная функции f(x) – это функция F(x), такая, что F'(x)=f(x). Первообразных много, поскольку (F(x)+C)'=f(x) для любой постоянной C.
    Обозначение семейства первообразных функции f(x):
    \int f(x) dx. Т.е., если F(x) – некоторая первообразная, то
    \int f(x) dx=F(x)+C. При этом
    \int dF(x)=F(x)+C. Поэтому один из способом вычисления первообразных, который также используется для решения дифференциальных уравнений – это внесение под знак дифференциала функции f(x) в выражениях f(x)dx.
    Основные правилаПримерыИнтегрирование по частям
    1 Правила для приращений. Всюду - f(x) и g(x) – дифференцируемые функции; \approx означает справедливость приближенного равенства для малых приращений, т.е. в выражении для приращения отброшены высшие все степени приращений, кроме первой степени, а чем меньше приращение, тем точнее равенство. Если в подобных соотношениях писать вместо знака приближенного равенства знак точного равенства, то тогда надо предполагать, что равенство также содержит слагаемые более высоких степеней по приращению аргумента. Пример:
    \Delta f(x)\approx df(x), но \Delta f(x)= df(x)+\cdots.
    Последнее означает:
    \Delta f(x)=df(x)+f_2(x)(\Delta x)^2+ f_3(x)(\Delta x)^3+\cdots.

    1.1. C\Delta f(x)=\Delta (Cf(x)),\, C=\mathrm{const}.
    1.2. \Delta f(x)+ \Delta g(x)=\Delta (f(x)+g(x)).
    1.3. [f(x)]^{\alpha}\Delta f(x)\approx \Delta \frac {[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}, \alpha\neq -1.
    1.4. \frac{\Delta f(x)}{ f(x)}\approx \Delta \ln |f(x)|.
    1.5. e^{f(x)}\Delta f(x)\approx\Delta e^{f(x)}.

    2 Правила для дифференциалов (f(x) и g(x) – дифференцируемые функции).

    2.1. Cdf(x)=d(Cf(x)),\, C=\mathrm{const}.
    2.2. df(x)=d(f(x)+C),\, C=\mathrm{const}.
    2.3. df(x)+dg(x)=d(f(x)+g(x)).
    2.4. (df(x))g(x)+f(x)dg(x)=d(f(x)g(x)).
    2.5 [f(x)]^{\alpha}df(x)=d\frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}, \alpha\neq -1.
    2.6. \frac{df(x)}{f(x)}=d\ln|f(x)|.
    2.7. e^{f(x)}df(x)=de^{f(x)}.

    3 Некоторые частные случаи.

    3.1 x^{\alpha}\Delta x\approx\Delta\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}, \alpha\neq -1.
    3.2 x^{\alpha}dx=d\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}, \alpha\neq -1.
    3.3 (x+C)^{\alpha}\Delta x=(x+C)^{\alpha}\Delta (x+C) \approx\Delta\frac{(x+C)^{\alpha+1}}{\alpha+1}, \alpha\neq -1.
    3.4. \frac{dx}{x}=d\ln|x|.

    4 Некоторые часто встречающиеся случаи.

    4.1. \sin x dx=-d\cos x.
    4.2. \cos x dx=d\sin x.
    4.3. \frac{dx}{\cos^2x}=d\tan x.
    4.4. \frac{dx}{\cos^2x}=d\tan x.
    1Найти одну из первообразных функции f(x), внеся в выражении f(x)dx все под знак дифференциала:

    1.1. f(x)=\frac{1}{x^2+1}. Решение
    Представим x через тангенс как x=\tan u. Тогда dx=\frac{1}{\cos^2u}du. Поскольку \frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{\tan^2u+1}=\cos^2u, то f(x)dx=\frac{dx}{x^2+1}=\frac{1}{\cos^2u}\cos^2u du=du=d\arctan x.
    Т.е первообразные даются формулой
    \int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C.
    Проделайте то же для представления переменной через котангенс x=\cot w.
    1.2. f(x)=\frac{1}{1-x^2}. Решение
    Представим \frac{1}{1-x^2} как \frac{1}{1-x^2}=-\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}) , так что.
    \frac{dx}{1-x^2}=-\frac{1}{2}(d\ln|x-1|-d\ln|x+1|)=\frac{1}{2}d\ln|\frac{x+1}{x-1}|.
    Т.е первообразные даются формулой
    \int\frac{dx}{1-x^2}=\frac{1}{2}\ln|\frac{x+1}{x-1}|+C.
    1.3. f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Решение
    Для -1\leq x \leq 1 представим x через синус как x=\sin u. Считаем, что -\pi/2\leq u\leq \pi/2. Тогда -1\leq x \leq 1. Имеем dx=\cos u du,
    \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^2u}}=\frac{1}{\cos u}. Таким образом,
    \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=du=d\arcsin x,
    \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \arcsin x+C.
    Проделайте то же для представления переменной через косинус x=\cos w.

    2Внести под знак дифференциала:

    2.1. xd\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. Решение
    Сначала надо преобразовать дифференциал и только потом вносить получившееся выражение перед dx под знак дифференциала:
    xd\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=x\frac{\sqrt{1-x^2}+x\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}dx=\\ \frac{xdx}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{2}\frac{d(-x^2)}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}=d\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
    Такое преобразование встречается при выводе выражения для энергии в релятивистской механике.

    3Вычислить интегралы, используя внесение подынтегральной функции под знак дифференциала:

    3.1. \int\limits_0^1\frac{dx}{x^2+1}. Решение
    Используя предыдущие результаты по нахождению первообразных имеем:
    \int\limits_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\int\limits_0^1d\arctan x= \arctan 1- \arctan 0=\pi/4.
    3.2. \int\limits_0^1(x+2)^2dx. Решение
    Используя предыдущие результаты по нахождению первообразных имеем:
    \int\limits_0^1(x+2)^2dx=\int\limits_0^1(x+2)^2d(x+2)=\\ \int\limits_0^1\frac{d(x+2)^3}{3}= \frac{(1+2)^3}{3}-\frac{(0+2)^3}{3}=\frac{19}{3}.
    1 Внести все под знак дифференциала:

    1.1. xd\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. Решение
    Используя формулу Лейбница:
    xd\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=d(x\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx.
    Здесь одно слагаемое уже представлено дифференциалом. Для другого слагаемого имеем:
    -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{1}{2}\frac{d(-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=d\sqrt{1-x^2},
    так что
    xd\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=d(x\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\sqrt{1-x^2})= d\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
    Такое преобразование встречается при выводе выражения для энергии в релятивистской механике. Найдите также другой способ решения этой задачи!

    Базовые уравнения
    и их решения
    Сведение уравнений
    к базовым
    Типичные
    примеры
    1 Если при x\in (a,c) для некоторых a и c и выполнено:

    или \Delta f(x)\approx 0 для малых \Delta x
    или df(x)=0,
    или f'(x)=0,
    то для x\in (a,c) имеем решение:
    f(x)=\mathrm{const}.
    Элементарное доказательство

    Разобъем интервал [b,x]\subset(a,c) точками
    x_0=b,x_1,\cdots,x_n,\cdots,x_{N-1},x_N=x
    на N подинтервалов, таких, что
    \Delta x_n\equiv x_n-x_{n-1},\,n=1,\cdots,N являются малыми приращениями и для них выполнено условие
    \Delta f(x_n)\equiv=f(x_n)-f(x_{n-1})\approx 0.
    Тогда сумма последовательных приращений
    \sum\limits_1^N\equiv\Delta f(x_1)+\Delta f(x_2)+\cdots+\Delta f(x_{N-1}) +\Delta f(x_N)=\\=(f(x_1)-f(x_0))+(f(x_2)-f(x_1))+\cdots\\+(f(x_{N-1})-f(x_{N-2})+(f(x_{N})-f(x_{N-2})=\\=f(x_N)-f(x_0)\approx0.
    Т.е. f(x)\approx f(b)=\mathrm{const}.
    Отличие пропорционально сумме слагаемых, пропорциональных (\Delta x)^2. Величина таких слагаемых порядка (\frac{c-a}{N})^2. Их число N. Так что отличие стремится к нулю с ростом N.

    2 Если при x\in (a,c) для некоторых a и c и выполнено:

    или \Delta f(x)\approx \Delta g(x) для малых \Delta x
    или df(x)=dg(x),
    или f'(x)=g'(x),
    то для x\in (a,c) имеем решение:
    f(x)=g(x)+\mathrm{const}.

    Величина, обозначенная как \mathrm{const}, в пунктах 1 и 2 разная ! Она находится из начальных условий задачи !

    1 Решить уравнение x''(t)=a
    с начальными условиями x(0)=x_0,\,x'(0)=v_0. Здесь a,\,x_0,\,v_0 – постоянные величины.
    Решение

    Перепишем уравнение в виде равенства дифференциалов:
    dv(t)=adt,\,v(t)=x'(t) и сведем его базовому:
    dv(t)=d(at). Отсюда v(t)=at+\mathrm{const}.
    Константа не зависит от времени t. Подставляя значения при t=0:
    v(0)=a\cdot 0+\mathrm{const}. Отсюда \mathrm{const}=v_0.
    Теперь запишем в дифференциалах уравнение v(t)=x'(t)=at+v_0:
    dx(t)=(at+v_0)dt\Rightarrow dx(t)=d(\frac{at^2}{2}+v_0 t). Отсюда
    x(t)=\frac{at^2}{2}+v_0 t+\mathrm{const}. Здесь другая постоянная, которая из начальных условий находится равной x_0. Итак,
    x(t)=\frac{at^2}{2}+v_0 t+x_0.
    Получились формулы для равноускоренного движения !

    2 Решить уравнение x''(t)+\omega_0^2x(t)=0
    с начальными условиями x(0)=x_0,\,x'(0)=v_0. Здесь \omega_0,\,x_0,\,v_0 – постоянные величины.
    Решение путем сведения к базовым уравнениям

    Введем v(t)=x'(t) и умножим на эту величину исходное уравнение, а результат запишем в дифференциалах:
    v(t)dv(t)+\omega_0^2x(t)v(t)dt=0. Но v(t)dt=dx(t), так что d\frac{v^2(t)}{2}+d\frac{\omega_0^2x^2(t)}{2}=0.
    Отсюда v^2(t)+\omega_0^2x^2(t)=\mathrm{const}\equiv E. Находим, что
    v(t)=\pm\sqrt{E-\omega_0^2x^2(t)}. Ограничиваясь определенной областью изменения t, характеризуемой определенным знаком, например плюсом, снова записываем уравнение в дифференциалах:
    dx(t)=\sqrt{E-\omega_0^2x^2(t)}dt\Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{E-\omega_0^2x^2(t)}}=dt.
    С учетом полученных ранее результатов введем новую переменную по формуле
    x(t)=\frac{\sqrt{E}}{\omega_0}\sin u(t). Тогда \frac{du(t)}{\omega_0}=dt, откуда u(t)=\omega_0t+\mathrm{const}, x(t)= \frac{\sqrt{E}}{\omega_0}\sin(\omega_0t+\mathrm{const}).
    Вместо нахождения константы из этой формулы, лучше переписать решение как
    x(t)=A\sin\omega_0t+B\cos\omega_0t,
    x'(t)=A\omega_0\cos\omega_0t-B\omega_0\sin\omega_0t,
    откуда новые константы A и B легко находятся как
    A=x_0,\,B=-\frac{v_0}{\omega_0}.

    1Найти площадь кругового сектора радиуса R с углом \alpha.
    Составьте последовательность действий по решению задачи
    1. Параметр и зависимая от него переменная
    2. Приращение переменной, ее геометрический образ и уравнение в приращениях
    3. Решение уравнения в приращениях

  • Задачи для самоконтроля
  • 1. Найти зависимость координаты частицы от времени x(t), движущейся прямолинейно вдоль оси x с проекцией ускорения a_x=\alpha t. В момент времени t=t_0 частица имела координату x_0 и проекцию скорости v_0.
    2. Найти время t_wнамотки тонкой нити на катушку радиуса R, если первоначально длина нити равна \ell_0, ее конец двигают в направлении, перпендикулярной нити, с постоянной по модулю скоростью v.
    Ответы к задачам для самоконтроля и комментарии
    Основные лекции