Без уверенного владения техникой приращений
невозможно понимание физики !
Это - основной математический аппарат физики !
- Базовые задачи
- Задачи для самоконтроля
.
,
. Итак
.
,
. Итак
,
.
,
. В результате
,
,
.
. Запишем полученное выражение как
.
Из формулы для суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии
, так что
.
Всего перемножается скобок. Если из каждой скобки взять по одному слагаемому и перемножить, то получим слагаемых. Среди них будет ровно штук вида . Почему? Чтобы получить слагаемое, содержащее ровно одну величину , надо только из одной скобки выбрать , а из оставшихся . Оставшихся скобок штука, а возможности выбора определяются числом скобок . Поэтому имеем
Здесь тремя точками обозначены слагаемые, содержащие в квадрате, кубе и т.д. до степени включительно. Главное - слагаемые, отмеченные тремя точками не содержат линейных по слагаемых! В результате имеем
,
,
. Множитель состоит из единицы и слагаемых, содержащие различные натуральные степени . Поэтому линейное по слагаемое в имеет вид
,
Как обычно, три точки обозначают слагаемые, содержащие степени не ниже второй от величины .
Как обычно, три точки обозначают слагаемые, содержащие в степенях 2, 3 и выше. Отсюда
Здесь под слагаемыми, обозначенными тремя точками можно считать слагаемые, содержащие множители в степенях, выше первой (т.е.2, 3, и т.д.), если предполагать справедливость разложения
Поэтому получаем
.
где тремя точками обозначены слагаемые, содержащие в степенях от второй и выше.
Рассмотрим приращение
Здесь нижний индекс у производной подчеркивает, что переменной, по которой берется производная, является именно . Три точки обозначают слагаемые, содержащие, по сравнению с выписанным слагаемым, более высокие степени . Если учесть представление для , то те три точки можно рассматривать как слагаемые, содержащие степени выше первой. В результате
, так что
.
где тремя точками обозначены слагаемые, содержащие в степенях от второй и выше.
Рассмотрим приращение
Тремя точками обозначены слагаемые, содержащие в квадрате, кубе и т.д. Подчеркнем, что это, вообще говоря, другие слагаемые, нежели в выписанных выше формулах. В результате имеем
,
.
Пусть . Имеем
.
Переобозначая переменную, получаем окончательно
.
.
. Откуда по формуле дифференцирования сложной функции : .
.
.
Обозначение семейства первообразных функции :
. Т.е., если – некоторая первообразная, то
. При этом
. Поэтому один из способом вычисления первообразных, который также используется для решения дифференциальных уравнений – это внесение под знак дифференциала функции в выражениях .
, но .
Последнее означает:
.
3 Некоторые частные случаи.
4 Некоторые часто встречающиеся случаи.
Т.е первообразные даются формулой
.
Проделайте то же для представления переменной через котангенс .
.
Т.е первообразные даются формулой
.
. Таким образом,
,
.
Проделайте то же для представления переменной через косинус .
Такое преобразование встречается при выводе выражения для энергии в релятивистской механике.
.
.
Здесь одно слагаемое уже представлено дифференциалом. Для другого слагаемого имеем:
,
так что
.
Такое преобразование встречается при выводе выражения для энергии в релятивистской механике. Найдите также другой способ решения этой задачи!
и их решенияСведение уравнений
к базовымТипичные
примеры
или для малых
или ,
или ,
то для имеем решение:
.
Элементарное доказательство
на подинтервалов, таких, что
являются малыми приращениями и для них выполнено условие
.
Тогда сумма последовательных приращений
Т.е. .
Отличие пропорционально сумме слагаемых, пропорциональных . Величина таких слагаемых порядка . Их число . Так что отличие стремится к нулю с ростом .
2 Если при для некоторых и и выполнено:
или для малых
или ,
или ,
то для имеем решение:
.
Величина, обозначенная как , в пунктах 1 и 2 разная ! Она находится из начальных условий задачи !
с начальными условиями . Здесь – постоянные величины.
Решение
Перепишем уравнение в виде равенства дифференциалов:
и сведем его базовому:
. Отсюда .
Константа не зависит от времени . Подставляя значения при :
. Отсюда .
Теперь запишем в дифференциалах уравнение :
. Отсюда
. Здесь другая постоянная, которая из начальных условий находится равной . Итак,
.
Получились формулы для равноускоренного движения !
2 Решить уравнение
с начальными условиями . Здесь – постоянные величины.
Решение путем сведения к базовым уравнениям
. Но , так что .
Отсюда . Находим, что
. Ограничиваясь определенной областью изменения , характеризуемой определенным знаком, например плюсом, снова записываем уравнение в дифференциалах:
.
С учетом полученных ранее результатов введем новую переменную по формуле
. Тогда , откуда , .
Вместо нахождения константы из этой формулы, лучше переписать решение как
,
,
откуда новые константы и легко находятся как
.
2. Найти время намотки тонкой нити на катушку радиуса , если первоначально длина нити равна , ее конец двигают в направлении, перпендикулярной нити, с постоянной по модулю скоростью .