Без уверенного владения техникой приращений
невозможно понимание физики !
Это - основной математический аппарат физики !
- Базовые задачи
- Задачи для самоконтроля





















Из формулы для суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии





Всего перемножается



























Как обычно, три точки













Рассмотрим приращение











Рассмотрим приращение




Тремя точками






Пусть



Переобозначая переменную, получаем окончательно





![df(x)=n[g(x)]^{n-1}dg(x)](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_0acda156b44dd1dca9c13696c25d06d9.gif)

![df(x)= n[g(x)]^{n-1}g'(x)dx](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_117c4956d7be3f8e6adf18279d0ac9e2.gif)
![[g(x)^n]'= n[g(x)]^{n-1}g'(x)](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_67fbf71c8d3e4188688df1066420dbe9.gif)





![[e^{g(x)}]'= e^{g(x)}g'(x)](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_591cbc54607b7185df813db191e6b8f0.gif)















![f(x)=[g(x)^n]e^{h(x)}](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_63e757f3fc502ca31a07af08b6dadcb3.gif)
![f'(x)=n[g(x)]^{n-1}g'(x)e^{h(x)}+ [g(x)^n]e^{h(x)}h'(x)](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4b5201d9809ca8adc7a4ed135eaba7c7.gif)



![f'(x)=h'(x) \frac{1}{g(x)} +h(x)(-1) [g(x)]^{-2}g'(x)=\frac{h'(x)g(x)-h(x)g'(x)}{g^2(x)}](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_bd38d0f2b75d36b45241b621e5cac6a7.gif)

![f(x)=e^{\ln [h(x)]^{g(x)}}=e^{g(x)\ln h(x)}](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_948ea9aacc23fb55b96f446e98ca343b.gif)










![f(x)=\sin^5[(3x^2+7x+11)^3]](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_43162d5063a03ccf3ce9717ee5ae24a7.gif)
![f'(x)=5[\sin^4[(3x^2+7x+11)^3]] [\cos (3x^2+7x+11)^3]\cdot](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d6d20fd7188e03b3d4e8029548f58cc1.gif)
](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_684fc2f623c29dd2e4c0fc4d727a3016.gif)















Обозначение семейства первообразных функции












Последнее означает:



![[f(x)]^{\alpha}\Delta f(x)\approx \Delta \frac {[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d2e2acba6b92e67a3cf4135d65d7dfa4.gif)









![[f(x)]^{\alpha}df(x)=d\frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9576f4e6b995200aa06973a00e1f895d.gif)



3 Некоторые частные случаи.







4 Некоторые часто встречающиеся случаи.












Т.е первообразные даются формулой

Проделайте то же для представления переменной через котангенс





Т.е первообразные даются формулой











Проделайте то же для представления переменной через косинус




Такое преобразование встречается при выводе выражения для энергии в релятивистской механике.






Здесь одно слагаемое уже представлено дифференциалом. Для другого слагаемого имеем:

так что

Такое преобразование встречается при выводе выражения для энергии в релятивистской механике. Найдите также другой способ решения этой задачи!
и их решенияСведение уравнений
к базовымТипичные
примеры



или


или

или

то для


Элементарное доказательство
![[b,x]\subset(a,c)](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_4846c8e19a4a9a6511f3417e1ce4789b.gif)

на



Тогда сумма последовательных приращений

Т.е.

Отличие пропорционально сумме слагаемых, пропорциональных




2 Если при для некоторых
и
и выполнено:
или для малых
или ,
или ,
то для имеем решение:
.
Величина, обозначенная как , в пунктах 1 и 2 разная ! Она находится из начальных условий задачи !

с начальными условиями


Решение
Перепишем уравнение в виде равенства дифференциалов:
и сведем его базовому:
. Отсюда
.
Константа не зависит от времени . Подставляя значения при
:
. Отсюда
.
Теперь запишем в дифференциалах уравнение :
. Отсюда
. Здесь другая постоянная, которая из начальных условий находится равной
. Итак,
.
Получились формулы для равноускоренного движения !
2 Решить уравнение
с начальными условиями . Здесь
– постоянные величины.
Решение путем сведения к базовым уравнениям




Отсюда




С учетом полученных ранее результатов введем новую переменную по формуле




Вместо нахождения константы из этой формулы, лучше переписать решение как


откуда новые константы









2. Найти время



