1Десятиклассники школы распределены по N классам, в каждом из которых ровно M учащихся. Сначала по записям в классном журнале отобрали самых слабых учеников в каждом классе и определили самого сильного ученика из отобранных слабых. Затем, среди всех учеников, занимающих одну и ту же позицию в классных журналах разных классов отобрали самых сильных учеников и среди них определили самого слабого.. Кто из двоих окажется сильнее (если это разные лица) — самый слабый из самых сильных учеников, или самый сильный из самых слабых?
2 Каждый роллер, пришедший на роллердром, столкнулся с другими роллерами определенное число раз. Докажите, что число роллеров, испытавших нечетное число столкновений, четно.
3Доказать, что среди любых шести ваших друзей-роллеров найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
4Известно, что среди 80 монет имеется одна фальшивая, более легкая, чем остальные, имеющие все одинаковый вес. При помощи четырех взвешиваний на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету.

1 Доказать, что среди n+1 целых чисел найдется как минимум два, разность которых делится на n.
2 Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

1 На плоскости отмечены 5 точек, имеющих целые координаты. Докажите, что середина хотя бы одного из отрезков, их соединяющих, также имеет целые координаты.
2 В бригаде 7 человек и их суммарный возраст — 332 года. Докажите, что из них можно выбрать трех человек, сумма возрастов которых не менее 142 лет.

1Положительные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что для каждого натурального n существует треугольник со сторонами $a^n$, $b^n$ и $c^n$. Доказать, что все эти треугольники равнобедренные.