Вступительные экзамены МГУ по математике 2013

Экономический факультет. Открытый экзамен 20 июня 2013 г. Вариант 1.

Подробное решение задач с комментариями и шпаргалками.

Прежде чем открывать и смотреть очередной этап решения или комментария, дайте свой вариант и сравните.

Задача. 1. Найдите все значения $x$ , удовлетворяющие одновременно двум условиям

$\left\{\begin{matrix} |x-3|+|x-4|\leq 3\\ 5x^2-31x+42\geq 0.\end{matrix}\right.$

♦ Смотреть комментарии, подсказки и решение задачи.

!Общая характеристикаШпаргалкаОтвет

Попробуйте сначала оценить уровень сложности задачи. Дайте характеристику каждому неравенству в отдельности. Сформулируйте для себя возможные способы решения.

Система состоит из двух неравенств, каждое из которых содержит только одну неизвестную. Поэтому можно решить отдельно каждое неравенство и найти область пересечения решений. Это и будет решение системы неравенств. При этом для решения первого неравенства надо раскрыть модули по определению и будем иметь для каждой области на оси

$x$ линейное неравенство. Другой способ решения - графический. Второе неравенство - обычное квадратичное неравенство и тривиально решается либо методом интервалов, либо графически, либо выделением полного квадрата.

Определение неравенства

Основа - свойство упорядоченности действительных чисел. Для любых двух вещественных чисел $a$ и $b$ возможно одно и только одно соотношение из

$a>b$ , $a=b$ и $a<b$ .

Выражение $a>b$ означает, что $a-b>0$ . Это строгое неравенство.
Выражение $a\geq b$ означает, что $a-b\geq 0$ . Нестрогое неравенство.
Свойство упорядоченности подразумевает, что если $a>b$ , то $b<a$ . Если $a>b$ и $b>c$ , то $a>c$ (свойство транзитивности). То же свойство справедливо и для нестрогих неравенств.

Основные свойства

Если

$a>b$ , то
1. для любой величины

$h$ справедливо

$a+h>b+h$ ;
2. для

$h>0$ справедливо

$ah>bh$ , а для

$h<0$ :

$ah<bh$ ; Если

$a>b>0$ и

$c>d>0$ , то

$ac>bd$ ;

Очевидные неравенства

$|a|\geq 0$ ,

$a=\left\{\begin{matrix} a,\quad a\geq 0\\ -a, \quad a<0.\end{matrix}\right.$

$|a+b|\leq |a|+|b|$ - неравенство треугольника.

$a^2\geq 0$ ,

$(a+b)^2\geq 0$ ,

$a^2+b^2\geq 0$ . [/su_spoiler] [su_spoiler icon="caret" title="Методы решения"] Метод интервалов Приведение к виду

$f(x)\vee f(y)$ , где

$f(z)$ - некоторая монотонная функция. Тогда имеем сравнение

$x\vee y$ . Монотонно возрастающая функция

$f(z)$ сохраняет смысл сравнения, монотонно убывающая - меняет на противоположный. Сведение к очевидным неравенствам. [/su_spoiler] [su_spoiler icon="caret" title="Графическое представление"] Смотри соответствующий раздел сайта! [/su_spoiler] [su_spoiler icon="caret" title="Важное из общего"] 1. Следим за ОДЗ - областью допустимых значений входящих в условие выражений. 2. Следим за тождественностью преобразований. 3. Стараемся привести выражения к виду сравнения с нулем. 4. Проверяем свойства симметрии - четность или нечетность по отношению к изменению знаков, симметрия по отношению к перестановке переменных и т.п. 5. Выделяем структуры - либо полные квадраты, кубы, и т.п., либо произведения сомножителей, либо приводим к виду сравнения значений двух одинаковых монотонных функций. [/su_spoiler] [/su_accordion] [/su_tab] [su_tab title="Решение"]

Решение неравенства 1. По определению модуля

$|x-3|=\left\{\begin{matrix} x-3, \, x-3\geq 0\\ 3-x, \, x-3<0,\end{matrix}\right.$ $|x-4|=\left\{\begin{matrix} x-4, \, x-4\geq 0\\ 4-x, \, x-4<0.\end{matrix}\right.\$ Область значений переменной $x$ разбивается на три области $x<3$ , $3\leq x<4$ и $4\geq x$ , в каждой из которых имеем неравенства $\left\{\begin{matrix} x-3<0\\ 3-x+4-x\leq 3,\end{matrix}\right.\, \Leftrightarrow \, 2\leq x<3;$ $\left\{\begin{matrix} 3\leq x<4\\ x-3+4-x\leq 3,\end{matrix}\right.\, \Leftrightarrow \, 3\leq x<4;$ $\left\{\begin{matrix} 4\leq x\\ x-3+x-4\leq 3,\end{matrix}\right.\, \Leftrightarrow \, 3\leq x\leq 5;$ . Таким образом, решение первого неравенства есть интервал $x\in[2;5]$ . Решение неравенства 2. Квадратичное неравенство решим методом интервалов. Корни квадратного трехчлена $x^2-\frac{31}{5}x+\frac{42}{5}$ : $x_{1,2}=\frac{31}{10}\pm \frac{\sqrt{900+60+1-840}}{10}=\frac{31}{10}\pm \frac{11}{10}$ . Их расположение на оси $x$ и знаки квадратного трехчлена на рисунке: Так что решение второго неравенства есть объединение интервалов $x\in (-\infty,2]\cup [4,2;\infty)$ . Решение системы неравенств есть $[2;5]\bigcap ( (-\infty,2]\cup [4,2;\infty)=\{2\}\cup [4,2;5]$

$x\in \{2\}\cup [4,2;5]$ .

Скрыть блок комментариев, подсказок и решения задачи 1

Задача. 2. Решите уравнение

$\sin^3x+1-\cos^4x=0$ .

♦ Смотреть комментарии, подсказки и решение задачи.

!Общая характеристикаШпаргалкаРешениеОтвет

Попробуйте сначала оценить уровень сложности задачи. Дайте характеристику уравнению. Сформулируйте для себя возможные способы решения.

Левая часть уравнения - периодическая функция с периодом

$2\pi$ .
Если

$\sin x$ взять за новую переменную, то получим алгебраическое уравнение четвертой степени, которое решать сложно и таковое умение и не предполагается. Поскольку имеем относительно простые слагаемые, содержащие третью и четвертую степени, а также единицу, то можно попробовать использовать формулы сокращенного умножения и свойства тригонометрических функций, чтобы представить левую часть уравнения в виде произведения сомножителей. Тогда равенство будет выполняться, когда каждый из таких сомножителей в отдельности будет равняться нулю. Эти новые уравнения должны быть проще чем исходные уравнения четвертой степени. Для их решения необходимо знать решение базовых тригонометрических уравнений.

Формулы сокращенного умножения

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ ,
$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$ ,
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ,
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ .
Полезно знать разные способы вывода этих формул и их обобщения, такие как
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+b^{n-1})$ .

Основные свойства тригонометрических функций

Определение

$\sin^2x+\cos^2x=1$ ,

$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$ ,

$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$ .
Отсюда следуют формулы для двойных углов.
Вводя симметричные

$\frac{1}{2}(x+y)$ и антисимметричные

$\frac{1}{2}(x-y)$ переменные, так что

$x=\frac{1}{2}(x+y)+\frac{1}{2}(x-y),\, y=\frac{1}{2}(x+y)-\frac{1}{2}(x-y)$ ,
получаем

$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$ ,

$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$ и т.п. с другими знаками.
Помнить все необязательно. Надо уметь выводить! Как и следующее соотношение

$\mu_1\cos x+\mu_2\sin x=$

$=\sqrt{\mu_1^2+\mu_2^2}(\frac{\mu_1}{\sqrt{\mu_1^2+\mu_2^2}}\cos x+\frac{\mu_2}{\sqrt{\mu_1^2+\mu_2^2}}\sin x)$ .
Вводим вспомогательные углы

$\psi$ и

$\varphi$

Так что, например,

$\mu_1\cos x+\mu_2\sin x=\sqrt{\mu_1^2+\mu_2^2}(\cos\psi\cos x+\sin\psi\sin x)=$

$=\sqrt{\mu_1^2+\mu_2^2}\cos(x-\psi)$
Формулы для функций от тройных и т.п. углов полезно уметь выводить из следующих соотношений:

$e^x=\cos x+i\sin x$ ,

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\, \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ .

Базовые тригонометрические уравнения

$\sin x=b,\,x=(-1)^n \arcsin b+\pi n,\,n\in \mathbb{Z}$ ,
или

$x=\left[\begin{matrix} \arcsin b+2\pi n,\,n\in \mathbb{Z}\\ \pi-\arcsin b+2\pi m, \,m\in \mathbb{Z}\end{matrix}\right.\$

$\cos x=b,\, x=\pm\arccos b+2\pi n, \,n\in \mathbb{Z}$ .

Важное из общего

Поскольку

$1-\cos^4x=(1-\cos^2x)(1+\cos^2x)=$

$=\sin^2x(1+\cos^2x)$ , то

$\sin^3x+1-\cos^4x=\sin^2x (\sin x+1+\cos^2x)=0$ .
Каждый из сомножителей может равняться нулю:

$\sin^2x=0$ и

$\sin x+1+\cos^2x=0$ , так что исходное уравнение эквивалентно

$\left [ \begin{matrix} \sin^2x=0\\ \sin x+2-\sin^2x=0.\end{matrix}\right.\, \Leftrightarrow \, \left [ \begin{matrix} \sin x=0\\ \sin^2x -\sin x-2=0.\end{matrix}\right.\,$

$\Leftrightarrow \,\left [ \begin{matrix} x=\pi n,\,n\in \mathbb{Z}\\ (\sin x -\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}.\end{matrix}\right.\, \Leftrightarrow \, \left [ \begin{matrix} x=\pi n,\,n\in \mathbb{Z}\\ \sin x -\frac{1}{2}=\pm \frac{3}{2}.\end{matrix}\right.$
Поскольку

$|\sin x|\leq 1$ , то последнее уравнение дает

$\sin x=-1$ , решение которого

$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi m,\, m\in \mathbb{Z}$ . Таким образом, искомое решение уравнения имеет вид

$x=\pi n,\,x=-\frac{\pi}{2}+2\pi m,\, n,m\in \mathbb{Z}$ .

Скрыть блок комментариев, подсказок и решения задачи 2.

Задача. 3. Четырехугольник $ABCD$ с перпендикулярными диагоналями $AC$ и $BD$ вписан в окружность радиуса 5. Найдите длину стороны $CD$ , если $AB=2$ .

♦ Смотреть комментарии, подсказки и решение задачи.

!Общая характеристикаШпаргалкаРешениеОтвет

Попробуйте сначала оценить уровень сложности задачи. Подумайте, свойства каких фигур (и какие именно) задачи вам могут понадобиться, если исходить из условия. Сформулируйте для себя возможные свойства фигур, которые могут пригодиться при решении задачи.

Поскольку четырехугольник вписан в круг, то углы, опирающиеся на одну и ту же дуга, равны между собой и половине угла этой дуги. Эти углы образованы сторонами четырехугольника и его диагоналями. То, что диагонали пересекаются под прямым углом сводит все к прямоугольным треугольникам, которые могут оказаться подобными, если у них будут еще и одинаковые острые углы из за свойств углов, опирающихся на одну и ту же дугу.
То, что четырехугольник вписан в окружность одновременно означает, что в ту же окружность вписаны треугольники, получаемые из четырехугольника проведением диагоналей. Поскольку дан радиус этой окружности, то понадобятся формулы, связывающие радиус описанной вокруг треугольника, окружности с параметрами треугольника.
Рисунок к задаче
Математика и физика с Асхатом Башаровым

Основные свойства окружности

$CB\cdot CA=(CD)^2$

$D$ - точка касания касательной к окружности с центом

$O$ .

Окружность - ГМТ, равноудаленных от одной точки, называемом ее центром. Центр окружности лежит на пересечении высот, восстановленных из середин хорд окружности.

Основные свойства четырехугольника, вписанного в окружность

Связь параметров треугольника с радиусом описанной окружности

$\frac{b}{2}=R\sin\beta,$

$R$ - радиус описанной окружности,

$\beta$ - угол, лежащий напротив стороны

$b$ .
Красным обозначен перпендикуляр, восстановленный из середины стороны

$AC$ . Очевидно,

$\sin(2d-\beta)=\sin(\pi -\beta)=\sin\beta$ .

С учетом свойств углов с вершинами на окружности дополняем рисунок к задаче
Математика и физика с Асхатом Башаровым

Из связи радиуса окружности, описанной вокруг треугольника, с параметрами треугольника имеем

$2R=AB/\sin\gamma,\, 2R=CD/\sin(d-\gamma)=CD/\cos\gamma$ ,

$\sin\gamma =1/5,\, \cos\gamma=\sqrt{1-\sin^2\gamma}=2\sqrt{6}/5$ ,

$CD=4\sqrt{6}$ .
Заметим, что мы использовали одну и ту же формулу дважды, поскольку заданный и искомый элемент "равноправны".

$CD=4\sqrt{6}$ .

Скрыть блок комментариев, подсказок и решения задачи 3.

Задача. 4. Функция $f(x)$ для всех $x$ удовлетворяет условию

$f(x+2)=f(x)+3x+2.$

Найдите

$f(2013)$ , если

$f(1)=1$ .

♦ Смотреть комментарии, подсказки и решение задачи.

!Общая характеристикаШпаргалкаРешениеОтвет

Что можете сказать про эту задачу? Ее можно легко решить именно тем методом, чему я учу на занятиях по физике.

Задача, по-видимому, как-то связана с арифметической прогрессией.
Заметим, что форма определения функции

$f(x)$ имеет вид приращения

$f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta f(x)$ . Поэтому здесь могут оказаться полезными свойства приращений.

Арифметическая прогрессия

Последовательность чисел $\{x_n\}$ , где $n$ пробегает множество натуральных чисел, называется арифметической прогрессией, если каждый последующий член последовательности получается из предыдущего путем добавления постоянного числа $d$ , называемого шагом прогрессии. $x_n$ называется $n$ -ым членом прогрессии и может быть представлен в виде
$x_n=x_1+(n-1)d$ .
Если рассмотреть первые $N$ членов арифметической прогрессии, то их сумма находится из того наблюдения, что сумма равноотстоящих от концов членов одинакова и равна $x_1+x_N$ , поскольку $x_2$ больше на $d$ , чем $x_1$ , а $x_{N-1}$ на ту же величину меньше $x_N$ . Поэтому в сумме каждый элемент пары можно заменить на $(x_1+x_N)/2$ . Тогда будет $N$ элементов, равных $(x_1+x_N)/2$ , т.е.
$x_1+x_2+\ldots+X_{N-1}+X_N=\frac{1}{2}(x_1+x_N)N=$
$=\frac{1}{2}(2x_1+d(N-1))N$ .
Характерным свойством арифметической прогрессии, давшее название прогрессии, является факт, что любой член прогрессии, кроме первого, является средним арифметическим соседних членов. Это свойство можно взять за определение арифметической прогрессии.

Суммирование приращений

Если рассмотреть последовательность приращений какой-либо функции, например,
$\Delta f(1)=f(x_1)-f(x_0)$ ,
$\Delta f(2)=f(x_2)-f(x_1)$ ,
$\ldots$
$\Delta f(i)=f(x_i)-f(x_{i-1})$ ,
$\ldots$
$\Delta f(N)=f(x_N)-f(x_{N-1})$ ,
то сумма последовательных приращений есть "глобальное" приращение:
$\Delta f(1)+\Delta f(2)+\ldots+\Delta f(N)=f(x_N)-f(x_0)$ .

Перепишем выражение, определяющее функцию

$f(x)$ , в виде:

$f(x+2)-f(x)=3x+2.$ .
Тогда

$f(3)-f(1)=3\cdot1+2.$ ,

$f(5)-f(3)=3\cdot3+2.$ ,

$\ldots$

$f(i+1)-f(i)=3\cdot i+2.$ ,

$\ldots$

$f(2013)-f(2011)=3\cdot2011+2.$ .
Всего 1006 выражений. Просуммируем эти выражения.
В правой части получится "глобальное" приращение

$f(2013)-f(1)$ .
В левой части будем иметь утроенную сумму 1006 слагаемых арифметической прогрессии

$1+3+\ldots+2011$
и

$1006\cdot2$

$3(1+3+\ldots+2011)+1006\cdot2=$

$=3\frac{1+2011}{2}1006+2012=$

$=2012(3\cdot503+1)=2012\cdot(1500+10)=$

$=3018000+20120=3038120$ .
Таким образом,

$f(2013)-f(1)=3038120$ , или

$f(2013)=3038121$ .

Скрыть блок комментариев, подсказок и решения задачи 4.

Задача. 5. Решите неравенство

$(1-\frac{x}{2})\log_{(19-2\cdot3^x)}3\leq1$ .

♦ Смотреть комментарии, подсказки и решение задачи.

!Общая характеристикаШпаргалкаРешениеОтвет

Что можете сказать про эту задачу?

Стандартная задача на логарифмическое неравенство, где нужно внимательно следить за ОДЗ и областями монотонности логарифмической функции и, естественно, знать основные свойства логарифмов.

Определение логарифмической функции

Логарифмическая функция – обратная к показательной.
Для

$\mathbf{a>1}$ показательная функция

$y=a^x$
всюду на вещественной оси монотонно возрастает и

$y>0$ ,

$x$ - любое.
Логарифмическая функция

$x=\log_a y$ определена для всех

$y>0$ :

$a^{\log_a y}\equiv y.$

$\log_a y$ для

$a>1$ монотонно возрастает.

Для

$\mathbf{0<a<1}$ показательная функция

$y=a^x$ всюду на вещественной оси монотонно убывает и

$y>0$ ,

$x$ - любое.
Логарифмическая функция

$x=\log_a y$ определена для всех

$y>0$ :

$a^{\log_a y}\equiv y.$

$\log_a y$ для

$0<a<1$ монотонно убывает.
ОДЗ логарифмической функции

$x=\log_a y$ :

$y>0\quad$ , $0<a,\quad a\neq1$ .

Характерные значения логарифмической функции:

$log_a a=1, \quad 0<a,\, a\neq1$ , $log_a 1=0, \quad 0<a,\, a\neq1$ .

Свойства логарифмов

$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\quad x>0,\,y>0,\,a>0,\, a\neq1$ ,

$\log_a x^\beta= \beta \log_a x,\quad x>0,\,a>0,\, a\neq1,\,\beta$ - любое,

$\log_{a^\beta}x= \frac{1}{\beta} \log_a x,\quad x>0,\,a>0,\, a\neq1,\,\beta\neq0$ ,

$\log_a b\cdot\log_b x=\log_a x, \quad x>0,\,a>0,\, a\neq1,\,b>0,\, b\neq1$ ,

При $a>1,\,x>0,\,y>0,\, \log_a x>\log_a y \, \Leftrightarrow x>y$ ,

При $0<a<1,\,x>0,\,y>0,\, \log_a x>\log_a y \, \Leftrightarrow x<y$ , Для $\forall x$ и $a>0,\, a\neq1,$ справедливо представление

$x=a^{\log_a x}.$

ОДЗ

$19-2\cdot3^x>0, \quad 19-2\cdot3^x\neq1$ .
В ОДЗ исходное неравенство эквивалентно выражению

$\log_{(19-2\cdot3^x)}3^{(1-\frac{x}{2})}\leq\log_{(19-2\cdot3^x)}(19-2\cdot3^x)$ ,
которое, в свою очередь, эквивалентно двум системам

$\left\{\begin{matrix} 0<19-2\cdot3^x<1\\ 3^{(1-\frac{x}{2})}\geq(19-2\cdot3^x),\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 1<19-2\cdot3^x\\ 3^{(1-\frac{x}{2})}\leq(19-2\cdot3^x).\end{matrix}\right.$ Для краткости записи удобно ввести новую переменную

$t=3^{\frac{x}{2}}>0$ . Тогда необходимо решить две системы

$\left\{\begin{matrix} 0<19-2t^2<1,\\ 2t^3-19t+3\geq0,\\t>0;\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 1<19-2t^2,\\ 2t^3-19t+3\leq0,\\t>0.\end{matrix}\right.$
Для решения неравенств можно использовать метод интервалов. При этом решение неравенств ОДЗ очевидно:

$\left\{\begin{matrix} 1<19-2t^2\\t>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}t^2-9<0\\t>0\end{matrix}\right.\Rightarrow t\in (0;3)$

$\left\{\begin{matrix}0<19-2t^2<1\\t>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t^2-9>0\\ t^2-\frac{19}{2}<0\\t>0,\end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\Rightarrow t\in(3;\sqrt{9,5})$
поскольку они представляют собой квадратичные неравенства.
Чтобы решить неравенство

$2t^3-19t+3\bigvee0$ , где

$\bigvee$ обозначает

$\geq$ или

$\leq$
надо найти корни кубического уравнения

$2t^3-19t+3=0$ . Поскольку умение решать кубическое уравнение при помощи формулы Кардано не предполагается, то один корень кубического уравнения должен найтись методом подбора. Нетрудно видеть, что

$t=3$ удовлетворяет этому уравнению. Поэтому

$2t^3-19t+3$ делится без остатка на

$t-3$ :

$2t^3-19t+3=(t-3)(2t^2+6t-1)$ .
Корни

$2t^2+6t-1$ такие:

$t=\frac{-3\pm\sqrt{11}}{2}$ , так что корни рассматриваемого кубического трехчлена упорядочены следующим образом:

$\frac{-3-\sqrt{11}}{2}<\frac{-3+\sqrt{11}}{2}<3$ . Поэтому решение систем неравенств такие

$\left\{\begin{matrix} 0<19-2t^2<1\\ 2t^3-19t+3\geq0\\t>0,\end{matrix}\right.\Rightarrow t\in (3;\sqrt{9,5})$
и

$\left\{\begin{matrix} 1<19-2t^2\\ 2t^3-19t+3\leq0\\t>0.\end{matrix}\right.\Rightarrow t\in[\frac{-3+\sqrt{11}}{2};3)$ .
Если вернуться к исходной переменной

$x=2\log_3t$ , то

$x\in [2\log_3\frac{-3+\sqrt{11}}{2};2)\cup(2;\log_3\frac{19}{2})$

Скрыть блок комментариев, подсказок и решения задачи 5.

Задача. 6. В прицепе фуры помещается на 5 контейнеров меньше, чем в основном кузове, в который входит не менее 16 контейнеров. Для перевозки всех контейнеров, находящихся на складе, фуре с прицепом при полной загрузке необходимо не менее 8 рейсов. Фуре без прицепа, так же при полной загрузке, потребуется для этого на 6 рейсов больше. Сколько контейнеров находится на складе?

♦ Смотреть комментарии, подсказки и решение задачи.

!Общая характеристикаШпаргалкаРешениеОтвет

Что можете сказать про эту задачу?

Составление уравнений по условию задачи не составляют труда для умеющих решать задачи по физике. Надо внимательно читать условие задачи и все данные в них записывать в виде уравнений. При этом надо четко отделять неравенства (в условии задачи фигурируют слова "не менее") от равенств. Возможно, пригодятся определения обсуждаемых в задаче величин. Поскольку речь идет о числе контейнеров, числе поездок, то в задаче фигурируют натуральные числа и надо знать простейшие их свойства.

Порешайте любые задачи по физике!

Целые значения дробных выражений

Если имеем дробь в виде отношения двух многочленов, например такую (простой вариант)

$\frac{6x^2-3x+4}{2x-3}$ ,
где

$x$ принимает целые значения, и интересуют такие их значения, при которых и сама дробь представляет целое число, то сначала надо разделить многочлены:

$\frac{6x^2-3x+4}{2x-3}=3x+3+\frac{13}{2x-3}$ .
Тогда понятно, что для того чтобы дробь

$\frac{13}{2x-3}$ была целочисленной, выражение

$2x-3$ должно равняться делителям числителя, т.е. числа 13. В данном случае

$2x-3=\pm1,\,\pm13$ .

Переформулируем условие задачи, введя обозначения для объемов фуры и прицепа, числа поездок. Смотрите как!

Вводим объемы фуры и прицепа

$V_w$ и

$V_{tr}$ . По условию

$V_w\geq16$ ,

$V_{tr}=V_w-5$ .
Объем продукции на складе обозначаем как

$V$ . Тогда для его вывоза фуре с прицепом при полной загрузке необходимо

$n$ рейсов, причем

$n\geq8$ .
Фуре без прицепа, так же при полной загрузке, потребуется для этого на 6 рейсов больше.

$V\leq V_w\cdot (n+6)$ . При этом

$(V_w+V_{tr})\cdot n=V_w\cdot (n+6)$
Сколько контейнеров находится на складе? Искомая величина равна

$V=(V_w+V_{tr})\cdot n=V_w\cdot (n+6)$ .

Записываем все уравнения и неравенства, получившиеся при переформулировке условия задачи, вместе. Уравнения отделяем от неравенств.
Уравнения
$(V_w+V_{tr})\cdot n=V_w\cdot (n+6)$ , $V_{tr}=V_w-5$ .
Неравенства
$n\geq8$ , $V_w\geq16$
Требуется найти $V=(V_w+V_{tr})\cdot n=V_w\cdot (n+6)$ .
Решение полученных уравнений.

Переписываем уравнения в виде

$(2V_w-5)n=V_w(n=6)$ или

$n(V_w-5)=6V_w$ ,

$n=\frac{6V_w}{V_w-5}=\frac{6(V_w-5+5)}{V_w-5}=$

$=6+\frac{30}{V_w-5}$
Поскольку

$n\geq8$ , то

$\frac{30}{V_w-5}\geq2$ ,

$V_w-5\leq15$ ,

$V_w\leq20$
Так как

$V_w\geq16$ , то подходит только

$V_w=20$ , чтобы

$n$ и дробь

$\frac{30}{V_w-5}$ были целыми. В итоге получили

$n=8,\,V_w=20,\, V=V_w\cdot (n+6)=280$ .

280

Скрыть блок комментариев, подсказок и решения задачи 6.

Задача. 7. Найдите минимальное значение разности $x - 4a$ при условии

$x^2+4a^2\leq4$ .

♦ Смотреть комментарии, подсказки и решение задачи.

!Общая характеристикаШпаргалкаРешениеОтвет

Что можете сказать про эту задачу?

Задачу можно решить алгебраически и геометрически.

Если переменную

$4x$ выразить через значение величины

$x - 4a\equiv C$ и подставить в условие

$x^2+4a^2\leq4$ , то будем иметь квадратичное неравенство относительно

$a$ с параметром

$C$ . Нетрудно определить область значений

$C$ , при которых указанное неравенство будет иметь смысл.

Поскольку, очевидно, условие задачи выделяет на плоскости

$x$ ,

$b=2a$ достаточно простую фигуру - круг

$x^2+b^2\leq4$ радиуса 2 с центром в начале координат, а

$x-2b=C$ - уравнение прямой, где

$C$ - постоянная, то естественно подумать о геометрическом способе решения. В таком решении надо определить возможные значения

$C$ , при которых указанные прямая и круг имеют общие точки.

Уравнения простых кривых на плоскости

Уравнение прямых

Уравнение окружности

Поскольку точка пересечения оси

$b$ прямой

$x-2b=C$ есть

$-C/2$ , то самая правая точка пересечения прямой, касающейся окружности

$x^2+b^2=4$ определяет

$C_{min}$ . Из рисунка (сравните со своим!)

следует, что $R=-\frac{1}{2}C_{min}\cos\varphi$ . Поскольку тангенс $\tan\varphi=\frac{1}{2}=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{\sqrt{1-\cos\varphi}}{\cos\varphi}$ , то $\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt{5}}$ , так что
$C_{min}=-2\sqrt{5}$ .

$-2\sqrt{5}$

Скрыть блок комментариев, подсказок и решения задачи 7.

Задача 8. Вершины $P$ и $Q$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на диагонали $A_1C$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $(AA_1||BB_1||CC_1||DD_1)$ с ребром единичной длины, при этом вершина $P$ лежит между $Q$ и $C$ , а вершины $M$ и $N$ - на диагонали $BD$ грани $ABCD$ . Найдите объем пирамиды $CMNP$ .

♦ Смотреть комментарии, подсказки и решение задачи.

!Общая характеристикаШпаргалкаРешениеОтвет

Что можете сказать про эту задачу?

Надо сначала нарисовать рисунок по задаче. Размышления появятся в ходе создания рисунка. Требование правильности тетраэдра определяет его однозначное положение и размер. При этом, положение тетраэдра должно быть в некотором смысле симметрично. Относительно чего тетраэдр должен быть симметричен?

Тетраэдр

Пирамида

После построения предварительного рисунка его перерисовываем - исходя из правильности фигур и симметричности:
Математика и физика с Асхатом Башаровым

середины непересекающихся граней тетраэдра должны находиться на минимальном расстоянии, равном расстоянию между прямыми, например,

$BD$ и

$A_1C$ . Для граней, лежащих на упомянутых прямых, эти точки обозначим как

$O$ и

$O'$ . Линия

$OO'$ - ось симметрии для сечения тетраэдра плоскостью

$A_1C$ . Поскольку

$BD$ и плоскости

$AA_1C$ взаимно перпендикулярны и

$BD$ перпендикулярна

$A_1C$ , то есть величина отрезка

$OO'$ и есть расстояние между непересекающимися гранями тетраэдра. Здесь точка

$O$ - середина

$BD$ и

$AC$ . Это расстояние также будем обозначать как

$OO'$ . Отдельно нарисовав прямоугольный треугольник

$AA_1C$ , нетрудно найти

$OO'$ . Смотрите как!

Площадь треугольника

$AA_1C$ , с одной стороны,

$\sqrt{2}/2$ . С другой стороны,

$\sqrt{3}\cdot2\cdot OO'/2$ . Т.е.

$OO'=\frac{1}{\sqrt{6}}$ .

Параметры тетраэдра и пирамиды такие (см. вычисления и рисунок):
$s=\frac{1}{\sqrt{3}},\, h=\frac{1}{2}, \,\sin\varphi =\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Вычисления. Если

$s$ - длина ребра тетраэдра, то высота грани

$h=\sqrt{s^2-(s/2)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}s$ , а расстояние

$OO'$ между непересекающимися ребрами есть высота равнобедренного треугольника, в основании которого - грань тетраэдра

$s$ , а боковые стороны равны

$h=\frac{\sqrt{3}}{2}s$ . Поэтому расстояние между непересекающимися гранями правильного тетраэдра

$OO'=\frac{\sqrt{2}}{2}s$ . Может это результат - известное свойство тетраэдра, но зачем помнить лишнее? Поскольку ранее нашли, что

$OO'=\frac{1}{\sqrt{6}}$ , то

$s=\frac{1}{\sqrt{3}}$ . Площадь основания пирамиды есть площадь грани правильно тетраэдра и равна

$S=sh/2=\frac{\sqrt{3}}{12}$ .
Теперь надо найти высоту пирамиды

$CMNP$ , т.е. расстояние

$H$ от точки

$C$ до прямой

$OP$ . Теорема об углах со взаимно перпендикулярными сторонами дает равенство отмеченных на рисунке углов

$\varphi$ , причем

$\sin\varphi =\frac{\sqrt{3}}{3}$ ,

$\cos\varphi =\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Математика и физика с Асхатом Башаровым
В результате
$H=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2\varphi=\frac{\sqrt{2}}{6}$ и $S=sh/2=\frac{\sqrt{3}}{12}$ .
Так что объем пирамиды $V$ получается равным
$V=\frac{1}{3}HS=\frac{\sqrt{6}}{216}$ .