Философия записана в огромной книге, раскрытой перед нашими глазами. Однако нельзя понять книгу, не зная языка и не различая букв, которыми она написана. Написана же она на языке математики, а её буквы – это треугольники, четырехугольники, круги, шары, конусы, пирамиды и другие геометрические фигуры, без помощи которых ум человеческий не может понять в ней ни слова; без них мы можем лишь наугад блуждать по тёмному лабиринту. Галилео Галилей (1564-1642).
Теорияфункции

приращения функции

Введение параметров, определение зависимых и независимых переменных, рассмотрение приращений введенных параметров и нахождение связей между этими приращениями являются основными исходными действиями при исследовании практически любой системы. При этом понятие приращения служит основой для введения новых характеристик системы и для построения какой-либо теории на основе результатов исследования системы.
Приращение функции:
Характеристики системы:
.
При этом величина является новой характеристикой системы.
Все (!) характеристики системы, например, скорость, ускорение, коэффициент упругости, электроемкость, индуктивность, сопротивление и т.д. и т.п., возникают (или их можно рассматривать) как коэффициенты пропорциональности между малыми приращениями тех или иных параметров или других характеристик. Обратите на это внимание!
Именно так и возникает и понятие производной функции . Она является "характеристикой" функции, если саму функцию рассматривать как "систему".



При этом координата будет функцией времени
. Именно изучением изменения положения тел в пространстве и занимается механика.
Приращение координаты определяет проекцию скорости тела на ось X, а приращение проекции скорости определяет проекцию ускорения на ось X. Для малых имеем
,
.
Так появились такие характеристики движущегося тела как его скорость и ускорение. Важно: всюду речь идет о мгновенных значениях скоростей и ускорения. Приближение в вышеприведенных формулах означает, что отброшены слагаемые, содержащие и более высокие степени
. А приближенными выражениями для мгновенных величин служат следующие
,
.
Здесь факты изменения и сравнения выражаются мультипликативно, в отличие от аддитивного характера выражения «изменения» и «сравнения» в обычном определении приращения:
,
.
Это не означает, что нельзя пользоваться другим определением - просто одно из них будет представляться более естественным. Например, если "мыслящим" объектом является клетка, то ей естественно было бы время отсчитывать в количестве произошедших "делений" клетки начиная с данного.
Возможны и иные определения. Например, комбинированное определение, когда аргумент меняется мультипликативно: , а сравнение происходит на основе аддитивных представлений, так что
,
.
Такие возможности я обсуждаю в своей лекции по исследованию мира, а также на занятиях своего курса МФТИ "Случайные процессы и стохастические дифференциальные уравнения" при рассмотрении функции ограниченной вариацией.
В основе анализа явлений лежат понятия функции и ее приращения. Понятий приращения может быть несколько, например, аддитивные приращения, мультипликативные приращения, их комбинации. "Стандартные" приращения "хороших" функций
имеют простую алгебраическую структуру по отношению к приращению аргумента функции
. Естественным образом в этой структуре выделяется слагаемое, линейное по приращению аргумента, которое называем дифференциалом функции, а коэффициент при первой степени приращения аргумента называем производной функции. Такое определение не требует знания и понимания определения предела функции и поэтому более наглядно, чем общее строгое определение. Но главное, простой и наглядный подход, развитый на основе такого определения, позволяет обосновывать все формулы и решать все уравнения, возникающие в школьном курсе физики и не только... Чтобы освоить понятие приращения и понять его роль в исследовательских задачах посмотрите лекции:
Для того, чтобы научиться решать сложные олимпиадные задачи школьного курса физики, задачи общего курса физики и вообще выработать правильный подход к исследованию любого явления, добейтесь четкого понимания всех всех вопросов, обсуждаемых в этих лекциях. После этого перейдите к рассмотрению задач.
Роль предела
необходимо для строгого обоснования выводимых формул. Такое обоснование дано в соответствующем разделе Математического анализа и его понимание требует уверенного владения понятием предела, чего в школьном курсе нет. Поэтому вместо замены одной абракадабры (производной) другой - пределом - я использую иной подход. Обратите внимание на все места, где я указываю о необходимости и в моем подходе использования четких определений на основе понятия предела. Их немного и для первого знакомства достаточно лишь помнить об их наличии. Подход автора также весьма близок к введению производных и т.п. на основе нестандартного анализа, основы которого, как и основы теории пределов, будут изложены в лекциях.
Математическая абстракция
И еще раз дословно "Философия записана в огромной книге, раскрытой перед нашими глазами. Однако нельзя понять книгу, не зная языка и не различая букв, которыми она написана. Написана же она на языке математики, а её буквы – это треугольники, четырехугольники, круги, шары, конусы, пирамиды и другие геометрические фигуры, без помощи которых ум человеческий не может понять в ней ни слова; без них мы можем лишь наугад блуждать по тёмному лабиринту." Галилео Галилей (1564-1642).
Характерные структуры
Рекомендую систематически изучать по книге Н.В.Ефимова "Краткий курс аналитической геометрии".
Взгляд на векторы в рамках моих лекций
Задачник: Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.
Руководящая книга к глубокому изучению векторов, тензоров и т.п.
Шутц Б. "Геометрические методы математической физики".
В XIX веке стали конструировать функции, которые не дифференцируемые, всюду разрывные и т.п.
Интересна позиция А. Пуанкаре, писавшего: „Раньше, когда изобретали новую функцию, то имели в виду какую-либо практическую цель, теперь их изобретают, не извлекая из них никакой пользы, а только для того, чтобы обнаружить недостатки в рассуждениях наших отцов".
Очевидно, что таких функций много больше дифференцируемых! В результате изменилась точка зрения – сначала определяется интегрирование таких функций (теория меры), и лишь затем – понятие дифференцируемости.