Прежде, чем что-либо исследовать, необходимо определить и формализовать исследуемую систему, а также ввести параметры, которые ее характеризуют. Параметры должны принимать только числовые значения, поскольку изначально мы можем только числовые параметры как-то сравнивать между собой и анализировать. При этом возникают понятия
функции $f(t)$ и
приращения функции $\Delta f(t)=f(t+\Delta t)-f(t)$.
Введение параметров, определение зависимых и независимых переменных, рассмотрение приращений введенных параметров и нахождение связей между этими приращениями являются основными исходными действиями при исследовании практически любой системы. При этом понятие приращения служит основой для введения новых характеристик системы и для построения какой-либо теории на основе результатов исследования системы.

Пусть тело движется вдоль прямой линии.

При этом координата $x$ будет функцией времени $t$. Именно изучением изменения положения тел в пространстве и занимается механика.
Приращение координаты определяет проекцию скорости тела на ось X, а приращение проекции скорости определяет проекцию ускорения на ось X. Для малых $\Delta t$ имеем

$\Delta x(t) \approx v_x(t)\Delta t$, $\Delta v_x(t) \approx a_x(t)\Delta t$.

Так появились такие характеристики движущегося тела как его скорость и ускорение. Важно: всюду речь идет о мгновенных значениях скоростей и ускорения. Приближение в вышеприведенных формулах означает, что отброшены слагаемые, содержащие $(\Delta t)^2$ и более высокие степени $\Delta t$. А приближенными выражениями для мгновенных величин служат следующие

$v_x(t)\approx \frac{\Delta x(t)}{\Delta t}$, $a_x(t)\approx \frac{\Delta v_x(t)}{\Delta t}$

В нашем мире многие животные, в том числе и человек, обладают врожденными чувством расстояния до противника и чувством их количества. Если бы этого не было, то, возможно, исследование мира разумным существом основывалось на другом определении приращения, например такого:

$\Delta f(t)=f(qt)/f(t)$.

Здесь факты изменения $t\rightarrow qt$ и сравнения выражаются мультипликативно, в отличие от аддитивного характера выражения «изменения» и «сравнения» в обычном определении приращения:

$t\rightarrow t+\Delta t$, $\Delta f(t)=f(t+\Delta t)-f(t)$.

Это не означает, что нельзя пользоваться другим определением - просто одно из них будет представляться более естественным. Например, если "мыслящим" объектом является клетка, то ей естественно было бы время отсчитывать в количестве произошедших "делений" клетки начиная с данного.
Возможны и иные определения. Например, комбинированное определение, когда аргумент меняется мультипликативно: $t\rightarrow qt$, а сравнение происходит на основе аддитивных представлений, так что

$t\rightarrow qt$, $\Delta_q f(t)=f(qt)-f(t)$.

Такие возможности я обсуждаю в своей лекции по исследованию мира, а также на занятиях своего курса МФТИ "Случайные процессы и стохастические дифференциальные уравнения" при рассмотрении функции ограниченной вариацией.

Формализуя исследуемую систему, мы, по-сути дела, определяем математическую абстракцию, в рамках которой мы систему будем рассматривать, а также параметры этой абстракции. В механике основной абстракцией являются материальная точка, и параметрами, характеризующими механическое состояние материальной точки, являются ее координаты.

Приращения координат вводят в рассмотрение понятие вектора скорости. Так возникает пространство параметров системы механической системы. При этом одновременно на этом пространстве возникают и характерные структуры.

Состояния связаны с использованием абстракции. Основные математические абстракции, например точка, прямая, являются неопределяемыми понятиями. Поэтому реальные системы соответствуют математической абстракции с той или иной степени приближения. И сразу возникает логичный вопрос о распределении параметров для конкретных систем и как результаты развитой теории будут применимы к различным конкретным представителям, чье описание было заменено на абстракции. Так возникает понятие состояния механической системы и распределение систем по начальным состояниям. Вообще говоря, такое представление никак не зависит от дальнейшего поведения системы. Таким образом, состояния системы описываются распределениями на пространстве состояний, в которых проявляются особенности этого пространства, называемыми уравнениями связи.

Законы природы "говорят" нам как меняются те или иные величины, определенные и действующие на пространстве состояний. Эти величины называются наблюдаемыми и являются функциями или операторами, действующими в пространстве состояний. Наблюдаемые определены на том же пространстве, что и состояния, но никак с ними не связаны. Наблюдаемые подчиняются уравнениям, называемыми уравнениями динамики.