«В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.» И.Кант (1724-1804).
Первоначальное развитие математики было обусловлено решением практических задач. В Древней Греции стал важным вопрос доказательства не только математических утверждений, но и философских. В схоластических спорах Средневековья отточилась формальная логика. В средних веках развилась алгебра. Эксперимент, схоластическая машина, абстрактные понятия и Великие географические открытия привели к научной революции Нового времени. Формулировка законов физики и решение физических задач стимулировало развитие математического анализа. Собственно математические проблемы всегда со временем отделяются от практических задач, их породивших, и рождают новые …
Рассудочное мышление у животных
У животных рассудочное мышление происходит в наглядно-образной форме. Наиболее характерное свойство рассудочной деятельности животных - их способность улавливать простейшие эмпирические законы, связывающие предметы и явления окружающей среды, и возможность оперировать этими законами при построении программ поведения в новых ситуациях. По определению Л.В.Крушинского, рассудочная деятельность - это выполнение животным адаптивного поведенческого акта в экстренно сложившейся ситуации.
Элементарная логическая задача
Задача, с логическими связями, которая может быть решена «мгновенно» за счет мысленного анализа ее условий. Альтернатива условным рефлексам.
Для решения элементарных логических задач животным необходимо владение эмпирическими законами:
1. Закон 'неисчезаемости' предметов
Животные сохраняют память о предмете, оказавшемся недоступным непосредственному восприятию. Пример действия закона - животные настойчиво ищут корм, тем или иным способом скрывшийся из их поля зрения.
2. Закон движения предметов
Животные воспринимают изменения положения окружающих предметов при собственных перемещениях и регистрируют перемещение других. Пример действия закона – прыжок хищника на жертву, учитывающий движение жертвы. Знание этого закона лежит в основе решения задач на экстраполяцию, представлений о траектории и направления движения.
3. Законы 'вмещаемости' и 'перемещаемости'
Животные, владеющие этими законами, на основе восприятия и анализа пространственно-геометрических признаков окружающих предметов "понимают", что одни объемные предметы могут вмещать в себя другие объемные предметы и перемещаться вместе с ними.
"Наука начинается с тех пор, как начинают измерять. Точная наука немыслима без меры." Д.И.Менделеев (1834-1907)
>Грубая схемаСхема КантаСостояния и наблюдаемыеОбъективность и доказательностьЭтапы познанияЦитаты
Подробности - в других вкладках !
Из практической деятельности формируются понятия числа и геометрической фигуры, возникают первые измерительные процедуры и базовые (интуитивно ясные и наглядно представляемые) понятия, например длина и ее измерение, площадь, объем, время, масса.
Необходимые условия возникновения наук – достаточное развитие языка и письменности для фиксирования, сохранения и передачи информации, некоторого уровня жизни, позволяющего вместо добывания хлеба насущного, предаваться размышлениям, и некоторая практическая потребность, хотя после формирования направления исследования, его развитие может подчиняться своей собственной логике, не связанной с практикой. Представление о науках менялось с течением времени и с ростом знаний.
Степень зрелости науки характеризуется наличием и степенью развития языка науки. Формирование языка обусловлено как имеющимся опытом, так и формулировкой и практикой решения актуальных задач. Свой язык – это своя математика.
Роль физиологии. В мозгу каждого животного фиксируются жизненно важные периодически повторяющиеся изменения. В мозгу животного также «зашито» понятие числа и расстояния. Л.В.Крушинский ввел понятие элементарной логической задачи с логической связью между составляющими ее элементами и решаемой животными. Причем в решении проявляются некоторые эмпирические законы. Это применимо и к человеку. Но человек отличается пытливостью ума – попытками классифицировать, объяснить, найти причинно-следственные связи, доказать. Физиологические особенности, по-видимому, обусловили аддитивный характер мышления, сравнения, измерения. Длина, площадь, объем, время, масса – аддитивные величины. По сути, аддитивны все важнейшие понятия математики – число, вектор, тензор, дифференциал, интеграл, мера - и физики – энергия, импульс, момент импульса, энтропия.
Оперирование фактами, эксперимент и доказательность. Это – важнейшие черты науки. Но здесь возникают философские проблемы. Кант различал синтетические и аналитические суждения. Аналитические суждения истинны только по свойству языка. Синтетические суждения используют еще и результаты эксперимента, так что истинность синтетического суждения устанавливается при обращении к эксперименту. Понятие объективности – принадлежности объекту, независимо от субъекта – становится весьма сложным, в том числе и в свете представлений квантовой теории и интерпретации эксперимента. Доказательность различается в математике и физике. Теории строятся по аксиоматическому принципу.
До Канта в доквантовый век, наука работала в схеме С→О:
Субъект что-то делает с Объектом: С→О. Считали, что наука как Субъект познает Природу как Объект.
Кант прозорливо ввел двухсубъектную схему C'→(С→О):
Субъект что-то делает с Объектом (пусть познает), а другой Субъект (C') изучает эту "пару": C'→(С→О).
Кант говорит, что у Субъекта есть априорные формы, которые он и "набрасывает" на познаваемый Мир, т.е. на Объект. Субъекту являются Феномены, которые он прикрепляет к Объекту и т.п. При этом у Субъекта штрих (C') появляется и развивается теория познания.
Гегель заменил Объект саморазвитием Духа, Маркс - саморазвитием Материи и схема во многом девальвировалась.
Квантовая механика изменила схему познания.
Возникли новые Субъектно-Объектные проблемы. Квантовый подход говорит о приоритетной роли эксперимента. В эксперименте субъект явно присутствует как макроскопический измерительный прибор и как собственно экспериментатор, чье квантовое состояние может быть перепутано с состояниями и прибора и Объекта исследования и влиять на результаты эксперимента.
Физики превратились в гносеологов в Кантовском смысле.
Философско-физическая дискуссия Бор-Эйнштейн. Физики стали философами. Ландау всем запомнился своей фразой, что «человек может понять даже то, что представить себе не может». И эта мысль, с точки зрения философов, устанавливает соответствие уровней Субъекта и Объекта. Квантовая физика дает точку связи науки и философии.
С точки зрения исследователя изучаемая система характеризуется состоянием и наблюдаемыми.
Понятие состояния тесно связано с экспериментом. Прекрасный пример анализа мысленного эксперимента дан в книге Ю.Швингера «Квантовая кинематика и динамика».
Состояния связаны с использованием абстракции. Основные математические абстракции, например точка, прямая, являются неопределяемыми понятиями. Поэтому реальные системы соответствуют математической абстракции с той или иной степени приближения. И сразу возникает логичный вопрос о распределении параметров для конкретных систем и как результаты развитой теории будут применимы к различным конкретным представителям, чье описание было заменено на абстракции. Так возникает понятие состояния механической системы и распределение систем по начальным состояниям. Вообще говоря, такое представление никак не зависит от дальнейшего поведения системы. Таким образом, состояния системы описываются распределениями на пространстве состояний, в которых проявляются особенности этого пространства, называемыми уравнениями связи.
В классической физике
Состояния системы характеризуются параметрами. В механике материальной точки это координаты и импульс материальной точки. В начальный момент времени для конкретной системы, которая моделируется понятием материальной точки, эти величины заданы с некоторой степенью точности. Т.е. на фазовом пространстве системы, осями которой являются координаты и проекции импульса, задано вероятностное распределение. Это и есть состояние классической системы из материальных точек.
В квантовой физике
В квантовой физике состояние описывается матрицей плотности, действующей в векторном пространстве.
Законы природы "говорят" нам, как меняются те или иные величины, определенные и действующие на пространстве состояний. Эти величины называются наблюдаемыми и являются функциями или операторами, действующими в пространстве состояний. Наблюдаемые определены на том же пространстве, что и состояния, но никак с ними не связаны. Наблюдаемые подчиняются уравнениям, называемыми уравнениями динамики.
Основное отличие квантового описания от классического в некоммутируемости наблюдаемых и в представлении (например, в конечномерном случае) состояний матрицами, которые диагональны в классике и произвольны (но эрмитовы) в квантовом случае. Поэтому возникают различия состояниях составных систем. Статистическое описание подсистемы, невзаимодействующей с окружением, берется в квантовом случае из окружения! Это свойство перепутанности квантовых состояний.
Перепутанность квантовых состояний составило основу теории множественности Миров Эверета.
В квантовом эксперименте субъект явно присутствует как макроскопический измерительный прибор и как собственно экспериментатор, чье квантовое состояние может быть перепутано с состояниями и прибора и Объекта исследования.
Знание – результат изучения и познания каких-либо явлений окружающего мира и абстрактных структур, порожденных человеческим воображением. Считается, что высшим (но не единственным) уровнем знания является научное знание, которое основано на познании соответствующих закономерностей.
Источники и критерии познания
Эмпирическая точка зрения.
Фрэнсис Бэкона предложил идею эксперимента, как орудия опытной науки. Корни идут от Аристотеля, предложившего принцип соответствия: истина - это соответствие знания объекту, действительности. Рационалистическая точка зрения.
В человеческом духе и его организации, по мнению Рене Декарта, есть возможности для открытия основных истин знания, подобных по своей достоверности и отчетливости математическим. Они могут служить фундаментом всего учения о мире. Важнейший признак истинного знания - ясность. Продолжение линии Платона, по которому истина есть согласие разума с самим собой. Прагматическая точка зрения.
Истина состоит в полезности знания, его эффективности.
Аксиоматический подход
В науке первоначальные, базовые понятия и принципы интуитивно понятны и согласуются с экспериментом, но они недоказуемые и ниоткуда не выводятся. Они составляют постулаты и аксиомы аксиоматического метода.
Совокупность объектов, их свойств и отношений, для которых аксиомы истинны, является интерпретацией данной системы аксиом.
Из них далее выводится вся теория, критерием истинности которой служит непротиворечивость, согласованность и соответствие экспериментальным данным.
Соответствие между аксиомами и предметами реальности всегда имеет приближенный характер.
Пример. Из теории множеств и аксиом натурального числа (также можно сформулировать на основе теории множеств) выводится вся математика, если отбросить проблемы с бесконечностями. При этом утверждение об отсутствии противоречий в пределах существующих теоретико-множественных построений является эмпирическим заключением, для которого не имеется достаточно веских оснований.
Кроме того, экспериментальные данные уже теоретически нагружены. В некоторых представлениях учет квантового состояния наблюдателя и возможность его перепутывания с объектом исследования влияет на результат эксперимента.
О доказательности
«Психологическая» доказательность
Из системы аксиом при помощи законов логики выводим все положения теории. Формальная доказательность
Точная формулировка элементов языка, синтаксиса языка, допустимых конструкций и правил логического вывода. Статистическая доказательность
Доказательность в статистике – все данные мы получаем в результате измерения, которое проводится с той или иной степенью точности. Воспроизводимость результатов и повторные измерения обеспечивают разброс данных. Начинает работать центральная предельная теорема. Понятие вероятности, с одной стороны, своеобразно обобщает понятие длины, площади и т.п., поскольку есть раздел теории меры. С другой стороны определяет фундаментальное понятие информации.
В своей практической деятельности человек может оперировать лишь доказанным знанием. Объективность и доказательность знания – его характеристики.
Любое истинное суждение утверждает то, что существует в объективной реальности и то, что истинно согласно правилу языка. (По Канту – синтетические и аналитические суждения)
Если ложность суждения не зависит от способов его доказательства, то процесс доказательства – это не процесс получения нового знания, а процедура установления истинности или ложности сформировавшихся утверждений. Доказательство меняет не содержание данного суждения, а наше отношение к нему.
Этапы развития человеческого познания мира и освоения ученым аппарата (математического, экспериментального) во многом являются отражением особенностей развития отдельного человека. Можно провести такую параллель:
1 этап. Чувственное познание
Человеческие органы чувств принимают и передают сигналы в мозг от окружающих объектов, воздействующих на органы чувств. Отдельные свойства объектов окружающего мира вызывают у человека ощущения.
Затем человек начинает воспринимать. Видеть предметы на расстоянии отличные он него. Затем – воображать или представлять. Воображение отличается от восприятия тем, что предмета перед глазами нет.
С помощью органов чувств мы познаём отдельные предметы и явления окружающего мира. Это - чувственное познание.
Ученый обращает внимание на отдельные термины, понятия, методы исследования, услышанные от коллег, взятые из литературы, и т.п. Они привлекательны, есть «ощущение» полезности этих понятий, надежда, что в отмеченных понятиях что-то кроется и если их освоить, то познаешь мир, поймешь то, что по какой-либо причине интересует. Начинает вспоминать про эти понятия, хотя ими еще не владеет и не оперирует.
2 этап. Рассудочное познание.
Ф. Энгельс писал: «Нам общи с животными все виды рассудочной деятельности: индукция, дедукция, следовательно, также абстрагирование.... анализ незнакомых предметов …, синтез (в случае хитрых проделок у животных) и, в качестве соединения обоих, эксперимент (в случае новых препятствий и при затруднительных положениях). По типу все эти методы - стало быть, все признаваемые обычной логикой средства научного исследования - совершенно одинаковы у человека и у высших животных. Только по степени (по развитию соответствующего метода) они различны. Основные черты метода одинаковы у человека и у животных и приводят к одинаковым результатам, поскольку оба оперируют или довольствуются только этими элементарными методами». Рассудочная деятельность животных - способность улавливать простейшие эмпирические законы и решать элементарные логические задачи.
У отдельного человека - способность составлять суждения, оперировать речью. Сначала – пассивное освоение слов. Дети указывают на предмет, который называет взрослый.
Потом – активное оперирование словами, когда он пытается составлять суждение. Этому этапу предшествует детский лепет.
Наконец – умение пользоваться числом, считать.
Число – абстракция от качества и внимание на количестве (фиксация количества).
Слово – абстракция от количества и акцент на качестве (фиксация).
Умение пользоваться отвлеченными рассудочными понятиями.
У ученого - способность воспроизвести общую схему метода, дать определение понятию. Представлять (не обязательно понимать) основные термины и понятия приглянувшегося или осваиваемого метода. Попытки в обсуждения вставлять запавшие понятия и представления. Начинают различаться некоторые нюансы. «Жонглирование» составляющими понятия. Даже можно проводить некоторые вычисления «по аналогии», не вникая в их основания, некоторые измерения (даже еще неясно представляя их роль). Выделение и формулировка ученым для себя основных понятий, идей, алгоритмов. Обучение других формальной стороне осваиваемого им метода. Возможность оперировать схемами, методами при решении новых задач, поставленных другими.
3 этап. Разумное познание.
У человека - язык, речь позволяют не только образовывать, передавать и сохранять информацию об окружении, но и размышлять над собой и окружающем мире, над природой самого языка. Мышление, способное к рефлексии, т.е. к осмыслению самого мышления, становится разумным. Разумное мышление (в отличие от рассудочного) предполагает исследование природы самих понятий. На стадии разумного мышления у человека проявляется интерес к философии.
Ученый на стадии разумного мышления осознает связи используемого им метода исследования (теоретического, экспериментального) с общей структурой науки или большого раздела науки. Он становится способным осознанно применять методы исследования, возникшие в одной области, в других областях науки. Видеть проявления одних и тех же проблем в различных областях. Рассуждать о происхождении знания (как профессионального, так и «общефилософского»), учить и передавать знания другим на уровне идей, сути (зерна) метода, перспектив развития. А освоенные им методы становятся языком при обсуждении, решении и постановке проблем.
Следствия для решения задач.
Из личной научной практики.
И.Кант «В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней математики».
Л.Д.Ландау о классификации наук
Л.Д.Ландау о классификации наук высказался в духе: науки бывают естественные (физика, химия, биология, ...), неестественные (т.е. не изучающие природу, например, история, философия) и сверхъестественные. К последним, по мнению Ландау, относится единственная наука — математика, которая возвышается над всеми остальными, объединяя их и создавая универсальный инструмент для научных исследований.
И.А.Акчурин о теории множеств, категориях и функторах
И.А.Акчурин. «Длительный, многовековой процесс математизации естественных наук показал, что каждая фундаментальная естественнонаучная теория в своих основаниях связана с весьма специфическими разделами математики. Например, чтобы сформулировать законы механики, Ньютону пришлось создать дифференциальное и интегральное исчисления; теория поля неотделима от уравнений в частных производных и векторного анализа; статистическая физика - от теории вероятностей; теория относительности - от тензорного исчисления; квантовая механика - от теории бесконечномерных гильбертовых пространств.
До самого недавнего времени наиболее общими рамками (явно сформулированными или неявно предполагавшимися) теоретического описания систем во всякой современной естественнонаучной теории были рамки теории множеств - любой объект исследований представлялся принадлежащим некоторому множеству. Это приносило до сих пор, окажем в физике и химии положительные результаты, поскольку в таких областях становилась автоматически применимой вся основанная на теории множеств математика. Но насколько концептуальная база теории множеств достаточна для построения теории живых систем? Не окажется ли более соответствующей специфике биологии теория категорий и функторов. альтернативная теории множеств в плане построения оснований математики?
Если в теории множеств конструкции отображения и функции являются производными и вспомогательными по отношению к самим множествам, то в теории категорий преобразования объектов (объекты - аналоги множеств ) они входят в аксиоматическое определение категории наравне с объекгами. Более того, объекты оказываются частным, предельным случаем преобразований. Таким образом, при категорно-функторном описании систем акцент переносится с "застывших", "мертвых" состояний объектов на различные формы их движений и преобразований.
Предметом исследования становятся не столько состояния систем, сколько совокупности способов их преобразований (вспомним, что именно такая черта, как постоянное обновление, смена, преобразование материального субстрата, есть одно из отличий систем биологических)».