1. Сформулируйте задачу своими словами и введите параметры
2. Рассмотрите малые приращения параметров в произвольный момент времени
3. Сформулируйте уравнения модели и начальные условия
4. Решите полученные уравнения
5. Проанализируйте решение
6. Обобщите модель

Формулировка задачи своими словами (вариант)
Вдоль оси \(X\) движется ракета. В момент времени \(t\) её координата - \(x(t)\), масса - \(M(t)\), проекция скорости на ось \(X\) - \(V(t)\). В единицу времени ракета отбрасывает в противоположном направлении оси \(X\) массу газов \(\nu\). Проекция скорости этих газов на ось \(X\) равна \(-u+V(t)\), поскольку \(-u\) есть проекция скорости этих газов на ось \(X\) в системе покоя ракеты.
Исследуемой системой здесь является ракета и отбрасываемые продукты сгорания топлива. Поскольку на ракету с топливом (сокращение для "отбрасываемых продуктов сгорания топлива") не действуют никакие внешние силы, то должен выполняться закон сохранения импульса, в частности проекции импульса на ось \(X\). Это значит, что приращение импульса системы на ось \(X\) должно равняться нулю.
Дальше следует корректно записать приращение импульса системы.

Приращение импульса системы
Приращение импульса системы за время \(\Delta t\) складывается из приращения импульса ракеты и импульса вновь образовавшихся продуктов сгорания топлива. За время \(\Delta t\) сгорает \(\Delta m\) топлива, продукты сгорания которого истекают относительно ракеты со скоростью \(u\). Здесь изменением скорости ракеты за время \(\Delta t\) в импульсе продуктов сгорания можно пренебречь, т.к. это вносит вклад в приращение импульса второго порядка по \(\Delta t\). В результате
\(\Delta(M(t)V(t))+(\Delta m)v_x=0\),
\(v_x=-u+V(t) \) – проекция скорости отбрасываемых продуктов сгорания на ось \(X\),
\(\Delta m\) – масса отбрасываемых продуктов сгорания за время \(\Delta t\). По определению величины \(\nu :\,\Delta m=\nu \Delta t\).

Уравнения и начальные условия
Преобразуем уравнение
\(\Delta(M(t)V(t))+(\Delta m)v_x=0\).

По правилу Лейбница для малых приращений
\(\Delta(M(t)V(t))=(\Delta(M(t))V(t)+M(t)\Delta V(t)\).

Поскольку \(\Delta M(t)=-\Delta m, \, \Delta m=\nu \Delta t\),
\(M(t)=M_0-\nu t\) и \(v_x=-u+V(t) \), то
\(-\Delta(m(t))V(t)+M(t)\Delta V(t)+(\Delta m)(-u+V(t))=0\).

Окончательно, получаем уравнение реактивного движения
\(M(t)\Delta V(t)=u\nu\Delta t,\, M(t)=M_0-\nu t\).
Начальным условием к нему служит равенство:
\(V(0)=0\).

Решение уравнения реактивного движения
Переписываем уравнение в виде:
\(\frac{\Delta V(t)}{u}=-\frac{\Delta(-\nu t)}{M_0-\nu t}=-\frac{\Delta(M_0-\nu t)}{M_0-\nu t}=-\Delta\ln(M_0-\nu t) \).
В результате
\(\frac{V(t)}{u}=-\Delta\ln(M_0-\nu t)+const\).
Из начальных условий при \(t=0\) следует
\(0=-\Delta M_0+const\), так что окончательно
\(V(t)=u\ln\frac{M_0}{M_0-\nu t} \).
Поскольку эта функция – возрастающая функция \(t\), то максимальная значение скорость ракеты такая:
\(V_{max}=u\ln\frac{M_0}{M_0-m}\).

Анализ решения
Если изменение массы ракеты мало \(m\ll M_0\), то
\(\ln\frac{M_0}{M_0-m}\approx\frac{m}{M_0}\), так что
\(V_{max}\approx u\frac{m}{M_0}\).
Это - стандартный закон сохранения импульса в случае, когда покоящаяся масса \(M_0+m\) «взрывается» и мгновенно разлетается на массу \(m\), которая летит со скоростью \(u\) противоположно массе \(M_0\), получившей скорость \(V_{max}\).
\(M_0V_{max}=mu\). При этом скорость \(u\) есть именно скорость относительно начальной скорости покоящейся массы \(M_0+m\).

Уравнение реактивного движения можно переписать так
\(M(t)\frac{\Delta\overrightarrow{V(t)}}{\Delta t}=\overrightarrow{F_{rf}}\),
где введена реактивная сила
\(\overrightarrow{F_{rf}}=-\overrightarrow{u}\nu\).
Если дополнительно учесть силу тяжести, то
\(M(t)\frac{\Delta\overrightarrow{V(t)}}{\Delta t}=\overrightarrow{F_{rf}}+M(t)\overrightarrow{g}\).
Это уравнение называют уравнением Мещерского.

Про законы Ньютона и их обобщение (минуты)
1.33-3.40; 10.07-12.30; 36.30-38.10;55.40-58.40

Про движение ракеты и реактивную тягу (минуты)
24.00-41.00