Решение неравенств. Метод интервалов

Основная теорема алгебры

Полином

$N$ -ой степени

$P_N(z)=z^N+C_{N-1}z^{N-1}+\ldots +C_1 z+C_0$
с комплексными коэффициентами

$C_0,\, C_1,\, \ldots ,\, C_{N-1}$ имеет ровно

$N$ комплексных корней

$z_1,\,z_2,\,\ldots z_N$ и может быть записан как

$P_N(z)=(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_N)$ .
В контексте неравенств. Пусть все коэффициенты и переменная

$z\equiv x$ являются действительными величинами. Тогда
1. Если у

$P_N(x)$ действительных корней нет, то

$P_N(x)>0$ и неравенства (и равенства) вида

$u(x)P_N(x)>0$ или

$u(x)P_N(x)\geq0$ эквивалентны следующим:

$u(x)>0$ или

$u(x)\geq0$ .
2. Если есть действительный корень

$x_0$ . Тогда полином

$P_N(x)$ . можно записать как

$P_N(x)=(x-x_0)P_{N-1}(x)$ ,
где

$P_{N-1}(x)$ - полином

$N-1$ степени с действительными коэффициентами. К нему следует применить предыдущие рассуждения.

Тестовая задача на метод интервалов

Решите неравенство

$\frac{x(1-x)}{x+2}\geq0$ .

Ответ

$x\in(-\infty;-2)\cup[0;1]$ .

Обобщение 1

Подумайте над рассмотренным выражением

$x-x_1$ с точки зрения использованных в нем функций!

Подсказка

$x$ - это линейная функция

$f(x)=x$ , а

$x_1=f(x_1)$ .

Обобщение 2

Подумайте, какие еще самые элементарные выражения имеют такой же знак, что и

$x-x_1$ или

$f(x)-f(x_1)$ .

Действительные корни полинома
с действительными коэффициентами

График функции

$y=P_N(x)$ , где

$P_N(x)=x^N+C_{N-1}x^{N-1}+\ldots +C_1 x+C_0$ , а коэффициенты

$C_{N-1},\ldots,C_0$ - действительные величины обязательно пересечет ось

$x$ в случае нечетного

$N$ . Это видно из следующих простых соображений. При больших

$x: \,x\leftarrow\pm\infty$ величина

$y$ определяется старшей степенью переменной, т.е.

$x^N$ . Поэтому

$y\leftarrow\pm\infty$ , соответственно. В силу непрерывности, график функции

$y=P_N(x)$ должен пересечь ось

$x$ хотя бы в одной точке.

Понятие строго монотонной функции

Функция

$f(x)$ называется строго монотонно возрастающей функцией на заданном множестве, если для любых

$x_1$ и

$x_2$ из этого множества, таких, что

$x_1>x_2$ будет выполнено неравенство

$f(x_1)>f(x_2)$ .

Функция

$g(x)$ называется строго монотонно убывающей функцией на заданном множестве, если для любых

$x_1$ и

$x_2$ из этого множества, таких, что

$x_1>x_2$ будет выполнено неравенство

$g(x_1)<g(x_2)$ . [su_spoiler icon="caret" title="Примеры строго монотонных функций"] Строго монотонно возрастающие функции

$x, x^3, \log_2 x, 3^x, \sqrt{x}$ .
Строго монотонно убывающие функции

$-x, \frac{1}{x},-x^3, \log_{\frac{1}{2}} x, (\frac{1}{3})^x$ .
[/su_spoiler]

Решение неравенств. Метод интервалов. Математика и физика с Асхатом Башаровым

Проблемы, решаемые методом интервалов

Идеи метода интервалов от простейшего случая к общему

Типичные задачи

Рекомендации по изучению

Обычно многие школьники, которые, на взгляд автора, имеют слабую подготовку по математике, достаточно уверенно применяют метод интервала в простых случаях. Если они решат задачу, то им для первого знакомства достаточно посмотреть видео. Затем вернуться к изучению раздела.
Если задача решена неправильно, то необходимо четко разобраться в следующих вопросах:

1. Соответствие между действительными числами и точками числовой оси. Свойство упорядочения чисел и точек;
2. Определение неравенства. Строгие и нестрогие неравенства;
3. Простейшие свойства неравенства (вместе со всеми доказательствами);
4. Что значит решить неравенство;
5. Графическая интерпретация неравенств;
6. Основные идеи решения неравенства в случае одной переменной. ОДЗ входящих выражений.

При этом необходимо представлять основные свойства функции точки зрения неравенств.
Если во владении понятием функции есть неуверенность, то необходимо сначала разобраться, что такое функция.
После этого приступить к изучению данного раздела.

ВНИМАНИЕ !

Следите за гипертекстовыми ссылками, выделенными зеленым. Там содержатся комментарии и подсказки на вопросы, задаваемые в тексте !

Проблемы, решаемые методом интервалов

Стандартный подход к решению неравенств состоит к сведению неравенств к сравнению с нулем, например $f(x)>0$ , и представлении правой части получившегося неравенства в виде произведения более элементарных множителей. Основанием возможности такого представления в ряде случаев служит основная теорема алгебры.
Если каким-либо образом удалось представить левую часть неравенства в виде произведения сомножителей, например, получить неравенство в виде
$u(x)v(x)s(x)>0$ ,
то это неравенство уже сводится к рассмотрению систем более элементарных элементарных неравенств вида
$\left\{\begin{matrix} u(x)>0,\\ v(x)>0,\\s(x)>0;\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} u(x)>0,\\ v(x)<0,\\s(x)<0;\end{matrix}\right.$ и т.д. В случае $M$ элементарных множителей, таких систем будет много - $2^{M-1}$ штук. Возникает проблема: Как единым образом охватить все решения этих систем неравенств?
Конечно, можно последовательно рассматривать решение $2^{M-1}$ систем из $M$ неравенств как минимум. Но есть еще и Область Допустимых значений (ОДЗ), так что число и систем и самих неравенств в системах может быть весьма велико.

Метод интервалов позволяет наиболее просто сразу получить решения всех перечисленных систем неравенств независимо от их количества в случае простого вида элементарных множителей и их наглядно представить.

Типичные элементарные неравенства
решаемые методом интервалов

Для определенности указан только один тип неравенства:

$>$ .

1

$(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_N)>0$ ;

2

$\frac{(x-x_1)\ldots(x-x_N)}{(x-x'_1)\ldots(x-x'_M)}>0$ .

$x_1,\,\ldots,\,x_N,\, x'_1,\,\ldots,\,x'_M$ - вещественные числа,

$N$ и

$M$ - натуральные числа.

Неравенства, сводимые к элементарным

$P_N(x)>0$ ,

$\frac{P_N(x)}{(Q_M(x)}>0$ .

Здесь

$P_N(x)$ и

$Q_M(x)$ -полиномы

$N$ -ой и

$M$ -ой степени с действительными коэффициентами вида, например,

$P_N(x)=x^N+C_{N-1}x^{N-1}+\ldots +C_1 x+C_0$ .

$(f_1(x)-f_1(x_1))\ldots(f_N(x)-f_N(x_N))>0$ ;

3

$\frac{(f_1(x)-f_1(x_1))\ldots(f_N(x)-f_N(x_N))}{(g_1(x)-g_1(x_1))\ldots(g_N(x)-g_N(x_N))}>0$ ;

Здесь

$f_1(x),\ldots, f_N(x), g_1(x)\ldots g_M(x)$ - строго монотонные функции.

Возможны также неравенства, левые части которых представляют различные произведения левых частей указанных неравенств на левые части других подобных неравенств или левые части элементарных неравенств. Конкретнее – смотри задачи.

Идеи метода интервалов от простейшего случая к общему

Самый элементарный вид неравенства: $(x-x_1)>0$

Здесь

$x_1$ - корень левой части выражения, т.е. величина, обращающая левую часть выражения при

$x=x_1$ в ноль. График левой части представляет собой прямую линию
Решение неравенств. Метод интервалов. Математика и физика с Асхатом Башаровым

Область плоскости, в которой левая часть неравенства является положительной величиной, закрашена желтым цветом, а где отрицательной – серым. Поскольку в исходном неравенстве левая часть должна быть строго больше нуля, то решением неравенства является область числовой оси

$x$ , отмеченная желтым цветом:

$x_1<x$ или

$x\in(x_1,\infty)$ . По сути, это же самое неравенство (вспомните определение!), только записанное иначе. Чтобы на графике отразить, что точка

$x_1$ не входит в область решения рассматриваемого строгого неравенства, точка

$x_1$ на числовой оси

$x$ отмечена крестиком (как бы зачеркиваем эту точку). Обобщение 1.

Подумайте как можно обобщить и посмотрите

С точки зрения знака левой части неравенства элементарная функция $y=x-x_1$ может быть заменена на более общую $y=f(x)-f(x_1)$ . Здесь важным является только свойство строгой монотонности функции $f(x)$ . Тогда точка $x_1$ также является нулем левой части неравенства, т.е. функции $y=f(x)-f(x_1)$ , и этот нуль является единственным в силу строгой монотонности функции $f(x)$ .

Поэтому,
$x_1<x$ или $x\in(x_1,\infty)$ является и решением неравенства $f(x)-f(x_1)>0$
для любой строго монотонно возрастающей функции $f(x)$ на всей числовой оси $x$ .
Этот факт можно графически изображать следующим образом

Обобщение 2.

Подумайте как можно обобщить и посмотрите

Вышеприведенный рисунок дает также решение другого неравенства с произвольной монотонно возрастающей функции $f(x)$ :
$1/(f(x)-f(x_1))>0$ ,
поскольку знак левой части этого выражения тот же самый, что и знак выражения $f(x)-f(x_1)$ , и для монотонно возрастающей функции совпадает со знаком разности аргументов $x-x_1$ . (Противоположен знаку $x-x_1$ для монотонно убывающей функции $f(x)$ ).

Итог:

Сформулируйте сами и сравните

Переходя, двигаясь по действительной оси $x$ , через корень выражений $f(x)-f(x_1)$ и $1/(f(x)-f(x_1))$ , знак этих выражений меняется также, как и у $x-x_1$ для монотонно возрастающей функции $f(x)$ . Поэтому операция взятия функции $f(x)$ в простых множителях $f(x)-f(x_1)$ и $1/(f(x)-f(x_1))$ левой части неравенства может быть опущена. Это тождественное (эквивалентное) преобразование!

Скрыть блок

Анализ случая $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)>0$

Пусть, все три корня левой части неравенства различны и для определенности, $x_1<x_2<x_3$ . Корни $x_1,\,x_2,\,x_3$ разбивают числовую ось $x$ на четыре области. При переходе через граничную точку каждой из областей один и только один множитель $x-x_1$ , $x-x_2$ или $x-x_3$ меняет знак. Поэтому вся левая часть рассматриваемого неравенства также меняет знак. В результате, знак левой части неравенства на всей числовой оси можно отобразить единым образом графически: Решение неравенств. Метод интервалов. Математика и физика с Асхатом Башаровым
Красная кривая на рисунке схематически отражает как знак левой части неравенства, так и график функции $y=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ . Реальный график этой функции существенно отличается от схематического, лишь на крайних интервалах (изображен фиолетовым цветом), поскольку при $x\rightarrow\pm\infty$ величина $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ стремится к бесконечности ( $\pm\infty$ ) как $x^3$ при $|x|>>|x_i|$ , $i=1,\,2,\,3$ .

Решение неравенства определяется сравнением знака левой части неравенства со смыслом неравенства. В данном случае, решением неравенства являются области, в котором левая часть рассматриваемого неравенства положительна:
$x\in(x_1;x_2)\cup(x_3;+\infty)$ .

Другие неравенства, непосредственно связанные с рассматриваемым

Решением нестрого неравенства
$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\geq0$
является $x\in[x_1;x_2]\cup[x_3;+\infty)$ .

Решением нестрого неравенства

является $x\in[x_1;x_2)\cup[x_3;+\infty)$ .
Здесь значение $x=x_2$ не является решением неравенства, поскольку не входит в ОДЗ.

Анализ близких значений корней

Пусть величина $x_2$ приближается к значению величины $x_3$ :

Видно, что область $x_2<x<x_3$ отрицательных значений выражения $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ при $x_2\rightarrow x_3$ уменьшается и при $x_2=x_3$ исчезает, так что решением неравенства $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)>0$
служит
$x\in[x_1;x_3)\cup(x_3;+\infty)$ .
При этом корень $x=x_3$ становится двухкратным и неравенство принимает вид:
$(x-x_1)(x-x_3)^2>0$ .
Таким образом, при переходе через двухкратный корень знак выражения левой части неравенства не меняется!

Другая интерпретация. При $x\neq x_3$ величина $(x-x_3)^2>0$ и поэтому на нее левую и правую часть неравенства можно поделить с сохранением смысла неравенства. Т.е. в данном случае
$(x-x_1)(x-x_3)^2>0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-x_1>0\\ x\neq x_3.\end{matrix}\right.$

Случай $x=x_3$ каждый раз надо рассматривать отдельно.
Например, для нестрогого неравенства
$(x-x_1)(x-x_3)^2\geq0$
точка $x=x_3$ входит в его решение
$x\in[x_1;+\infty)$ .
2Для неравенства

стремление $x_2\rightarrow x_3$ позволяет сократить и числитель и знаменатель дроби левой части неравенства на $x-x_3$ . В силу ОДЗ $x\neq x_2$ и поэтому это тождественное преобразование в области ОДЗ. В результате при $x_2=x_3$
$\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{x-x_2}\geq0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-x_1\geq0\\ x\neq x_3.\end{matrix}\right.$

Итоговая интерпретация случая совпадающих (кратных) корней. При переходе через двухкратный ("четнократный") корень знак выражения левой части неравенства не меняется!
"Нечетнократный корень" ведет себя также, как и однократный корень.

Скрыть блок

Неравенство с полиномом общего вида $P_N(x)>0$

$P_N(x)=x^N+C_{N-1}x^{N-1}+\ldots +C_1 x+C_0$ .
Коэффициенты $C_{N-1},\ldots,C_0$ - действительные величины. Согласно основной теореме алгебры многочлен $P_N(x)$ может быть представлен как
$P_N(x)=(x-x_1)\ldots(x-x_K)Q_{N-K}(x)$ , где $x_1,\ldots,x_K,\, 0\leq K\leq N$ - действительные корни $P_N(x)$ , а многочлен $Q_{N-K}(x)$ действительных корней не имеет. Тогда $Q_{N-K}(x)>0$ для всей действительной оси $x$ и на этот многочлен исходное неравенство можно сократить без изменения смысла неравенства.
(Частный случай: $Q_{N-K}(x)=x^2+px+q$ с дискриминантом $D=p^2/4-q<0$ .) В результате исходное неравенство сводится к предыдущему рассмотренному случаю $P_N(x)>0 \Leftrightarrow(x-x_1)\ldots(x-x_K)>0$ .

Если у $P_N(x)$ действительных корней нет, то $P_N(x)=Q_N(x)>0$ для всех $x$ , поскольку коэффициент при старшей степени у $P_N(x)$ равен единице в силу нашего определения. Тогда решением неравенства $P_N(x)>0$ является вся действительная ось.

Когда полином обязательно имеет действительный корень?

Если величина $N$ -нечетное натуральное число $N=2M+1$ , то при $x\rightarrow+\infty$ значение полинома $P_N(x) \rightarrow+\infty$ как $x^{2M+1}$ , а при $x\rightarrow-\infty$ имеем $P_N(x) \rightarrow-\infty$ как $-|x|^{2M+1}$ . В результате соединения этих двух асимптотик график непреывной функции $P_N(x)$ должен пересечь ось абсцисс в некоторой точке $x_0$ , т.е. один действительный корень всегда есть $P_N(x_0)=0$ :

Скрыть блок

4 Общая схема применения метода интервалов

0. Сначала надо для себя сформулировать, что за выражения входят в решаемое неравенство. Еще раз вернуться к этой теме после записи неравенства в виде сравнения некоторого выражения с нулем.
1. Записать ОДЗ.
2. Записать неравенство в виде сравнения с нулем некоторого выражения и еще раз для себя сформулировать, что за выражение фигурирует в неравенстве.
3. Преобразовать сравниваемое с нулем выражение к виду произведения элементарных сомножителей.
4. Найти элементарные сомножители с определенным знаком в ОДЗ и убрать их из выражения, сравниваемого с нулем, при помощи основного правила преобразования неравенства (умножение левой и правой части неравенства на заданную величину).
5. Для каждого оставшихся после действий предыдущего пункта элементарных сомножителей (знакопеременных) найти такие функции $f(x)$ и $u(x),\,v(x)$ , чтобы представить этот элементарный сомножитель в виде разности $f(u(x))-f(v(x))$ . При этом функция $f(x)$ должна быть строго монотонной.
6. Упростить знакопеременные сомножители, применив свойство монотонности функции.
7. Применить стандартный метод интервалов и получить множество решений. Отдельно рассмотреть вхождение концов интервалов в решение неравенства.
8. Рассмотреть пересечение полученного множества с ОДЗ и с ограничениями, которые могли возникнуть в ходе преобразований. Подумайте, не пропустили ли какую-либо область переменной в ходе преобразований.
9. Проверить получившиеся результаты. Отдельно проверить вхождение концов интервалов и изолированных точек в решение исходного неравенства.
10. Записать ответ и снова попробовать его проверить.

Скрыть блок "Общая схема применения метода интервалов"

5 Важный пример $\frac{\sqrt{5x+3}-1}{\sqrt{3x+2}-1}>1$

Решение по стандартному плану:
0. Неравенство с радикалами (квадратными корнями), причем радикалы входят в разности и возможно их удастся представить как разности радикалов. Тогда можно использовать свойства монотонного возрастания квадратного корня.
1. ОДЗ:
$\left\{\begin{matrix} 5x+3\geq0,\\ 3x+2\geq0,\\ 3x+2\neq1;\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq-3/5,\\ x\neq-1/3.\end{matrix}\right.$
2. Сравнение с нулем:
$\frac{\sqrt{5x+3}-1}{\sqrt{3x+2}-1}>1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{5x+3}-\sqrt{3x+2}}{\sqrt{3x+2}-1}>0$
3. Здесь уже имеем дробь, числитель и знаменатель которой и есть элементарные сомножители.
4. Знакоопределенных сомножителей нет.
5. $\sqrt{5x+3}-\sqrt{3x+2}$ , здесь монотонная функция $f(x)=\sqrt{x}$ , аргументами которой являются $u(x)=5x+3,\,v(x)=3x+2$ ;
$\sqrt{3x+2}-1=\sqrt{3x+2}-\sqrt{1}$ , здесь монотонная функция $f(x)=\sqrt{x}$ , аргументами которой являются $u(x)=3x+2,\,v(x)=1$ .
6. В ОДЗ имеем
$\frac{\sqrt{5x+3}-\sqrt{3x+2}}{\sqrt{3x+2}-1}>0\Leftrightarrow \frac{2x+1}{3x+1}>0\Leftrightarrow \frac{x+1/2}{x+1/3}>0$ .
7. Стандартный метод интервалов дает следующий график знака левой части неравенства
Решение неравенств. Метод интервалов. Математика и физика с Асхатом Башаровым

8. Решение неравенства с учетом ОДЗ (отмечено зеленым цветом)
Решение неравенств. Метод интервалов. Математика и физика с Асхатом Башаровым
$x\in[-3/5;1/2)\cup(-1/3;+\infty)$ .

9. Точка $x=-3/5$ входит в решение неравенства, поскольку эта граничная точка ОДЗ для квадратного корня.
Точка $x=-1/2$ не является решением неравенства, поскольку неравенство строгое, а в этой точке выражение обращается в ноль.
Точка $x=-1/3$ не является решением неравенства, поскольку не входит в ОДЗ.
10. Ответ
$x\in[-3/5;1/2)\cup(-1/3;+\infty)$ .
При $x=-3/5$ имеем
$\frac{\sqrt{5x+3}-1}{\sqrt{3x+2}-1}=\frac{-1}{\sqrt{1/10}-1}=\frac{1}{1-\sqrt{1/10}}>1$ .