© Башаров А.М. 2015
Случай конечного числа элементов множества
В случае конечного числа элементов множества число его подмножеств, т.е. число элементов , равно
.
Поэтому обозначение для семейства всех подмножеств множества довольно естественно. Здесь - число сочетаний из элементов по .
Сепарабельное пространство
Содержит не более чем счетное всюду плотное множество.
Топологическое пространство, обладающее счетной базой.
Топологическое пространство, обладающее счетной базой.
Полное метрическое пространство
Метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел.
Cистемы, порожденные семействами подмножеств
Множество всех подмножеств заданного множества является и кольцом и сигма-алгеброй. Очевидно, что если есть семейства подмножеств , являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Таким образом, для любого заданного семейства подмножеств множества существует минимальная структура, например сигма-алгебра (или кольцо или др.), содержащее данное семейство подмножеств . Для сигма-алгебры это , где - сигма-алгебра, такая, что
Исследуемые модели могут быть построены на различных множествах (графах, абстрактных пространствах). Для их анализа нужны не только исходное абстрактное пространство, но и всевозможные его подмножества. Они дают математический образ различных состояний модели.
Операции над элементами системы подмножеств должны приводить к элементам из той же системы подмножеств, чтобы иметь возможность оперированием понятия возмущения и изменения системы и изучать отклик системы на это возмущение или изменение, т.е. придерживаться стандартной схемы исследования. Элементы исходного пространства естественно называть элементарными состояниями, а его подмножества – просто состояниями.
Посмотрим, какие системы множеств есть в нашем распоряжении.
Посмотрим, какие системы множеств есть в нашем распоряжении.
- заданное множество (пространство элементарных событий). Множество всех его подмножеств обозначаем через . Используются следующие системы подмножеств:
Операции с элементами семейств множеств с точки зрения алгебры
Несмотря на то, что в указанных выше определениях фигурируют объединение, пересечение, разность множеств, пересечение – есть аналог произведения с нейтральным элементом в виде заданного множества , а в качестве сложения выступает симметрическая разность
с нейтральным элементом . Посредством симметрической разности имеем очевидные представления:
,
.
Операция взятия симметричной разности и ее обратная операция совпадают и
.
Операция объединения множеств обратной операции не имеет!
Несмотря на то, что в указанных выше определениях фигурируют объединение, пересечение, разность множеств, пересечение – есть аналог произведения с нейтральным элементом в виде заданного множества , а в качестве сложения выступает симметрическая разность
с нейтральным элементом . Посредством симметрической разности имеем очевидные представления:
,
.
Операция взятия симметричной разности и ее обратная операция совпадают и
.
Операция объединения множеств обратной операции не имеет!
Структуры, порожденные заданным семейством множеств
Множество всех подмножеств заданного множества является и кольцом и сигма-алгеброй. Правомерна постановка вопроса и наименьшем кольце, сигма-алгебре и т.п., содержащих заданное семейство помножеств . Очевидно, что если есть семейства подмножеств , являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Поэтому интересны:
Множество всех подмножеств заданного множества является и кольцом и сигма-алгеброй. Правомерна постановка вопроса и наименьшем кольце, сигма-алгебре и т.п., содержащих заданное семейство помножеств . Очевидно, что если есть семейства подмножеств , являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Поэтому интересны:
Борелевские множества
В одном из интересных для нас случаев, множество представляет всю действительную прямую . Тогда в качестве системы подмножеств интересны множества всех открытых интервалов, всех замкнутых интервалов, всех полуоткрытых интервалов. Однако отдельно открытые или замкнутые интервалы не образуют -алгебру, поскольку имеем очевидные соотношения
, , , , . Можно, однако, рассмотреть наименьшую -алгебру, содержащую систему открытых интервалов (или замкнутых интервалов). Эта сигма-алгебра называется борелевской алгеброй множеств числовой прямой, а ее множества - борелевскими множествами. Борелевская алгебра наряду с интервалами вида входят одноточечные множества , а также любое из множеств , , , , , , . Аналогично строится борелевская алгебра , причем оказывается, что , где в правой части записана наименьшая сигма-алгебра, содержащая все -мерные прямоугольники с борелевскими сторонами , .
В одном из интересных для нас случаев, множество представляет всю действительную прямую . Тогда в качестве системы подмножеств интересны множества всех открытых интервалов, всех замкнутых интервалов, всех полуоткрытых интервалов. Однако отдельно открытые или замкнутые интервалы не образуют -алгебру, поскольку имеем очевидные соотношения
, , , , . Можно, однако, рассмотреть наименьшую -алгебру, содержащую систему открытых интервалов (или замкнутых интервалов). Эта сигма-алгебра называется борелевской алгеброй множеств числовой прямой, а ее множества - борелевскими множествами. Борелевская алгебра наряду с интервалами вида входят одноточечные множества , а также любое из множеств , , , , , , . Аналогично строится борелевская алгебра , причем оказывается, что , где в правой части записана наименьшая сигма-алгебра, содержащая все -мерные прямоугольники с борелевскими сторонами , .