Основные системы подмножеств

Случай конечного числа элементов множества $E$

В случае конечного числа

$N$ элементов множества

$E$ число его подмножеств, т.е. число элементов

$2^E$ , равно

$\sum\limits_{M=0}^{N}C_N^M=(1+1)^N=2^N$ .

Поэтому обозначение $2^E$ для семейства всех подмножеств множества $E$ довольно естественно. Здесь $C_N^M$ - число сочетаний из $N$ элементов по $M$ .

Сепарабельное пространство

Содержит не более чем счетное всюду плотное множество.
Топологическое пространство, обладающее счетной базой.

Полное метрическое пространство

Метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел.

Cистемы, порожденные семействами подмножеств

Множество всех подмножеств

$2^E$ заданного множества

$E$ является и кольцом и сигма-алгеброй. Очевидно, что если есть семейства подмножеств

$\{\mathscr{E}_{\alpha}\}$ , являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств

$\bigcap\limits_{\alpha}\mathscr{E}_{\alpha}$ также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Таким образом, для любого заданного семейства

$\mathscr{E}$ подмножеств множества

$E$ существует минимальная структура, например сигма-алгебра (или кольцо или др.), содержащее данное семейство подмножеств

$\mathscr{E}$ . Для сигма-алгебры это

$\sigma(\mathscr{E})=\bigcap\limits_{\alpha}\mathscr{E}_{\alpha}$ , где

$\mathscr{E}_{\alpha}$ - сигма-алгебра, такая, что

$\mathscr{E}\subset \mathscr{E}_{\alpha}$

Исследуемые модели могут быть построены на различных множествах (графах, абстрактных пространствах). Для их анализа нужны не только исходное абстрактное пространство, но и всевозможные его подмножества. Они дают математический образ различных состояний модели.

Операции над элементами системы подмножеств должны приводить к элементам из той же системы подмножеств, чтобы иметь возможность оперированием понятия возмущения и изменения системы и изучать отклик системы на это возмущение или изменение, т.е. придерживаться стандартной схемы исследования. Элементы исходного пространства естественно называть элементарными состояниями, а его подмножества – просто состояниями.
Посмотрим, какие системы множеств есть в нашем распоряжении.

$E$ - заданное множество (пространство элементарных событий). Множество всех его подмножеств обозначаем через $2^E$ . Используются следующие системы подмножеств:

Полукольцо и полуалгебра

Класс множеств $\mathscr{E}\subset 2^E$ называется полукольцом, если
$\forall A,B\in\mathscr{E}\quad A\cap B\in\mathscr{E}$
$\quad\,\, \forall A,B\in\mathscr{E}\quad \exists A_1,\cdots A_n\in\mathscr{E}, A_i\cap A_j\neq\varnothing, i\neq j:$
$\quad\, A\backslash B=\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i$
Класс множеств $\mathscr{E}\subset 2^E$ называется полуалгеброй, если $\mathscr{E}$ - полукольцо и $E\in\mathscr{E}$ .

ЗадачиРешенияКомментарий

Доказать, что

$\varnothing\in\mathscr{E}$ , если

$\mathscr{E}$ - полукольцо.

Доказать, что классы множеств $\{\varnothing, E\}$ и $2^E$ есть полуалгебры.

Доказать, что $\mathscr{E}=\{[a,b):-\infty<a<b<\infty\}\cup\varnothing$ есть полукольцо.

Кольцо и алгебра

Класс множеств $\mathscr{E}\subset 2^E$ называется кольцом, если
$\forall A,B\in\mathscr{E}\quad A\cup B\in\mathscr{E}$
$\quad\,\,\forall A,B\in\mathscr{E}\quad A\backslash B\in\mathscr{E}$
Класс множеств $\mathscr{E}\subset 2^E$ называется алгеброй, если $\mathscr{E}$ - кольцо и $E\in\mathscr{E}$ .

ЗадачиРешенияКомментарий

Доказать, что если

$\mathscr{E}$ - кольцо, то
1.

$\varnothing\in\mathscr{E}$
2.

$\forall A,B\in\mathscr{E}\quad A\cap B\in\mathscr{E}$

Проверить, что кольцо является полукольцом.

Доказать, что класс множеств $\mathscr{E}$ есть кольцо тогда и
только тогда, когда $\mathscr{E}$ полукольцо и
$\forall A,B\in\mathscr{E}\quad A\cap B\in\mathscr{E}$ .

Содержимое вкладки 2

Содержимое вкладки 3

Сигма-кольцо и сигма-алгебра

Семейство подмножеств $\mathscr{E}\subset 2^E$ называется $\sigma$ -кольцом, если
$\quad\,\,\forall A_1,A_2,\cdots\in\mathscr{E}:\quad \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathscr{E}$ и
$\quad\,\,\forall A,B\in\mathscr{E}:\quad A\backslash B\in\mathscr{E}$ .
Класс множеств $\mathscr{E}\subset 2^E$ называется $\sigma$ -алгеброй, если $\mathscr{E}$ - $\sigma$ -кольцо и $E\in\mathscr{E}$ .

Монотонный класс

Последовательность множеств

$\{ A_i \}$ называется монотонно возрастающей, если

$A_i\subset A_{i+1}$ . При этом

$\lim\limits_{i\rightarrow\infty}A_i:=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i$ .
Также пишут

$\{ A_i \}=\{ A_i\uparrow\}$ .

Последовательность множеств $\{ A_i \}$ называется монотонно убывающей, если $A_{i+1}\subset A_i$ . При этом
$\lim\limits_{i\rightarrow\infty}A_i:=\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}A_i$ .
Также пишут $\{ A_i \}=\{ A_i\downarrow\}$ .

Последовательности, монотонно возрастающие или монотонно убывающие, называются монотонными.

Непустой класс множеств $\mathscr{E}\subset 2^E$ называется монотонным классом, если для любой монотонной последовательности $\{ A_i \}\in\mathscr{E}$ имеем $\lim\limits_{i\rightarrow\infty}A_i\in\mathscr{E}$ .

ЗадачиРешенияКомментарий

Доказать, что

$\sigma$ -кольцо является монотонным классом.

Доказать, что монотонное кольцо является $\sigma$ -кольцом.

Пи- и ламбда- системы

$\pi$ -системой называется семейство

$\mathscr{E}_{\pi}$ подмножеств

$E$ , такое, что:
1.

$E\in\mathscr{E}_{\pi}$ ,
2.

$A,B\in\mathscr{E}_{\pi}\Rightarrow A\bigcap B\in\mathscr{E}_{\pi}$ .

$\lambda$ -системой называется семейство $\mathscr{E}_{\pi}$ подмножеств $E$ , такое, что:
1. $E\in\mathscr{E}_{\lambda}$ ,
2. $A,B\in\mathscr{E}_{\lambda}, A\subset B \Rightarrow B\backslash A\in\mathscr{E}_{\lambda}$ ,
3. $\{A_n\uparrow\}\in\mathscr{E}_{\lambda}\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow\infty}A_n\in\mathscr{E}_{\lambda}$

ЗадачиРешенияКомментарий

Доказать, что семейство подмножеств

$E$ является

$\sigma$ -алгеброй тогда и только тогда, когда оно является одновременно

$\pi$ и

$\lambda$ -системой.

Доказать, что $\sigma(\mathscr{E}_{\pi})=\lambda(\mathscr{E}_{\pi})\subset\mathscr{E}_{\lambda}$ . Здесь $\mathscr{E}_{\pi}$ и $\mathscr{E}_{\lambda}$ представляют собой $\pi$ и $\lambda$ системы, а $\sigma(\mathscr{E}_{\pi})$ и $\lambda(\mathscr{E}_{\pi})$ есть соответственно $\sigma$ и $\lambda$ системы, порожденные семействами подмножеств.

Операции с элементами семейств множеств с точки зрения алгебры
Несмотря на то, что в указанных выше определениях фигурируют объединение, пересечение, разность множеств, пересечение – есть аналог произведения с нейтральным элементом в виде заданного множества

$E$ , а в качестве сложения выступает симметрическая разность

$A\bigtriangleup B=(A\backslash B)\bigcup (B\backslash A)=(A\bigcup B)\backslash(A\bigcap B)$
с нейтральным элементом

$\varnothing$ . Посредством симметрической разности имеем очевидные представления:

$A\bigcup B=(A\bigtriangleup B)\bigtriangleup (A\bigcap B)$ ,

$A\backslash B=A\bigtriangleup (A\bigcap B)$ .
Операция взятия симметричной разности и ее обратная операция совпадают и

$A\bigtriangleup A=\varnothing$ .
Операция объединения множеств обратной операции не имеет!

Структуры, порожденные заданным семейством множеств
Множество всех подмножеств

$2^E$ заданного множества

$E$ является и кольцом и сигма-алгеброй. Правомерна постановка вопроса и наименьшем кольце, сигма-алгебре и т.п., содержащих заданное семейство

$\mathscr{E}$ помножеств

$E$ . Очевидно, что если есть семейства подмножеств

$\{\mathscr{E}_{\alpha}\}$ , являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств

$\bigcap\limits_{\alpha}\mathscr{E}_{\alpha}$ также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Поэтому интересны:

Минимальные структуры, содержащие заданную систему множеств

Очевидно, для любого заданного семейства $\mathscr{E}$ подмножеств множества $E$ существует минимальная структура, например сигма-алгебра (или кольцо или др.), содержащее данное семейство подмножеств $\mathscr{E}$ . Для сигма-алгебры это $\sigma(\mathscr{E})=\bigcap\limits_{\alpha}\mathscr{E}_{\alpha}$ , где $\mathscr{E}_{\alpha}$ - сигма-алгебра, такая, что $\mathscr{E}\subset \mathscr{E}_{\alpha}$

Борелевские множества
В одном из интересных для нас случаев, множество

$E$ представляет всю действительную прямую

$R=(-\infty,\infty)$ . Тогда в качестве системы подмножеств интересны множества всех открытых интервалов, всех замкнутых интервалов, всех полуоткрытых интервалов. Однако отдельно открытые или замкнутые интервалы не образуют

$\sigma$ -алгебру, поскольку имеем очевидные соотношения

$(a,b)=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}(a,b-\frac{1}{n}]$ ,

$a<b$ ,

$[a,b]=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},b]$ ,

$a<b$ ,

$\{a\}=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},a]$ . Можно, однако, рассмотреть наименьшую

$\sigma$ -алгебру, содержащую систему открытых интервалов (или замкнутых интервалов). Эта сигма-алгебра называется борелевской алгеброй

$\mathscr{B}(R)$ множеств числовой прямой, а ее множества - борелевскими множествами. Борелевская алгебра наряду с интервалами вида

$(a,b]$ входят одноточечные множества

$\{a\}$ , а также любое из множеств

$[a,b]$ ,

$[a,b)$ ,

$(a,b)$ ,

$(-\infty,b]$ ,

$(-\infty,b)$ ,

$(a,\infty)$ ,

$[a,\infty)$ . Аналогично строится борелевская алгебра

$\mathscr{B}(R^N)$ , причем оказывается, что

$\mathscr{B}(R^N)=\mathscr{B}(R)\otimes\mathscr{B}(R)\otimes\cdots\otimes\mathscr{B}(R)$ , где в правой части записана наименьшая сигма-алгебра, содержащая все

$N$ -мерные прямоугольники

$B=B_1\times B_2\times\cdots\times B_N$ с борелевскими сторонами

$B_i\in\mathscr{B}(R)$ ,

$i=1,\cdots\,N$ .

Польские пространства

Говоря о борелевских множествах стоит иметь ввиду и естественное обобщение пространства

$R^N$ , к которому мы будем прибегать в курсе «Случайные процессы».

$R^N$ является примером так называемого польского пространства.
Определение Польского пространства.
Полное сепарабельное метрическое пространство называется польским пространством. Это понятие привлекательно тем, что возможно представить каждый элемент пространства как предел последовательности элементов из счётного плотного множества, подобно тому как всякое действительное число можно представить как предел последовательности из рациональных чисел. Пусть

$X$ - польское пространство и

$\rho(x,y)$ - его метрика.
Определение замкнутого (открытого) шара.
Множество точек вида

$\overline{S}_r(x)=\{y:\rho(x,y)\leq r\}$ (

$S_r(x)=\{y:\rho(x,y)<r\}$ ) называется замкнутым (открытым) шаром. Но многие важные конструкции польского пространства основаны на топологии без обращения к метрике. Будем говорить о борелевской алгебре как наименьшей сигма-алгебре подмножеств

$X$ , содержащей все замкнутые шары. Ее элементы – борелевские множества – очевидно включают как открытые, так и замкнутые шары.

Математика и физика с Асхатом Башаровым

Основные системы подмножеств

Авторские учебные материалы для старшеклассников, студентов и аспирантов