© Башаров А.М. 2015
Случай конечного числа элементов множества
В случае конечного числа
элементов множества
число его подмножеств, т.е. число элементов
, равно



.
Поэтому обозначение для семейства всех подмножеств множества
довольно естественно. Здесь
- число сочетаний из
элементов по
.
Сепарабельное пространство
Содержит не более чем счетное всюду плотное множество.
Топологическое пространство, обладающее счетной базой.
Топологическое пространство, обладающее счетной базой.
Полное метрическое пространство
Метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел.
Cистемы, порожденные семействами подмножеств
Множество всех подмножеств
заданного множества
является и кольцом и сигма-алгеброй. Очевидно, что если есть семейства подмножеств
, являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств
также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Таким образом, для любого заданного семейства
подмножеств множества
существует минимальная структура, например сигма-алгебра (или кольцо или др.), содержащее данное семейство подмножеств
. Для сигма-алгебры это
, где
- сигма-алгебра, такая, что











Исследуемые модели могут быть построены на различных множествах (графах, абстрактных пространствах). Для их анализа нужны не только исходное абстрактное пространство, но и всевозможные его подмножества. Они дают математический образ различных состояний модели.
Операции над элементами системы подмножеств должны приводить к элементам из той же системы подмножеств, чтобы иметь возможность оперированием понятия возмущения и изменения системы и изучать отклик системы на это возмущение или изменение, т.е. придерживаться стандартной схемы исследования. Элементы исходного пространства естественно называть элементарными состояниями, а его подмножества – просто состояниями.
Посмотрим, какие системы множеств есть в нашем распоряжении.
Посмотрим, какие системы множеств есть в нашем распоряжении.
- заданное множество (пространство элементарных событий). Множество всех его подмножеств обозначаем через
. Используются следующие системы подмножеств:
Операции с элементами семейств множеств с точки зрения алгебры
Несмотря на то, что в указанных выше определениях фигурируют объединение, пересечение, разность множеств, пересечение – есть аналог произведения с нейтральным элементом в виде заданного множества
, а в качестве сложения выступает симметрическая разность

с нейтральным элементом
. Посредством симметрической разности имеем очевидные представления:
,
.
Операция взятия симметричной разности и ее обратная операция совпадают и
.
Операция объединения множеств обратной операции не имеет!
Несмотря на то, что в указанных выше определениях фигурируют объединение, пересечение, разность множеств, пересечение – есть аналог произведения с нейтральным элементом в виде заданного множества


с нейтральным элементом



Операция взятия симметричной разности и ее обратная операция совпадают и

Операция объединения множеств обратной операции не имеет!
Структуры, порожденные заданным семейством множеств
Множество всех подмножеств
заданного множества
является и кольцом и сигма-алгеброй. Правомерна постановка вопроса и наименьшем кольце, сигма-алгебре и т.п., содержащих заданное семейство
помножеств
. Очевидно, что если есть семейства подмножеств
, являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств
также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Поэтому интересны:
Множество всех подмножеств






Борелевские множества
В одном из интересных для нас случаев, множество
представляет всю действительную прямую
. Тогда в качестве системы подмножеств интересны множества всех открытых интервалов, всех замкнутых интервалов, всех полуоткрытых интервалов. Однако отдельно открытые или замкнутые интервалы не образуют
-алгебру, поскольку имеем очевидные соотношения
,
,
,
,
.
Можно, однако, рассмотреть наименьшую
-алгебру, содержащую систему открытых интервалов (или замкнутых интервалов). Эта сигма-алгебра называется борелевской алгеброй
множеств числовой прямой, а ее множества - борелевскими множествами. Борелевская алгебра наряду с интервалами вида
входят одноточечные множества
, а также любое из множеств
,
,
,
,
,
,
.
Аналогично строится борелевская алгебра
, причем оказывается, что
,
где в правой части записана наименьшая сигма-алгебра, содержащая все
-мерные прямоугольники
с борелевскими сторонами
,
.
В одном из интересных для нас случаев, множество



![(a,b)=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}(a,b-\frac{1}{n}]](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_36032dd37f3183f2ecd4914091575ec1.gif)

![[a,b]=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},b]](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_6ed35cc806bdd5755c10b23a13d65ded.gif)

![\{a\}=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},a]](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_44006469dc4a8d76e5cb93abeaea3b8f.gif)


![(a,b]](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a33b8ca44ded30abf82b7dca332e9a96.gif)

![[a,b]](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.gif)


![(-\infty,b]](http://basharov.me/wp-content/plugins/latex/cache/tex_061d27ef1314bb66d97d37560e86d1a9.gif)








