Основные системы подмножеств

© Башаров А.М. 2015

Случай конечного числа элементов множества E

В случае конечного числа N элементов множества E число его подмножеств, т.е. число элементов 2^E, равно

\sum\limits_{M=0}^{N}C_N^M=(1+1)^N=2^N.

Поэтому обозначение 2^E для семейства всех подмножеств множества E довольно естественно. Здесь C_N^M - число сочетаний из N элементов по M.

Сепарабельное пространство

Содержит не более чем счетное всюду плотное множество.
Топологическое пространство, обладающее счетной базой.

Полное метрическое пространство

Метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел.

Cистемы, порожденные семействами подмножеств

Множество всех подмножеств 2^E заданного множества E является и кольцом и сигма-алгеброй. Очевидно, что если есть семейства подмножеств \{\mathscr{E}_{\alpha}\}, являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств \bigcap\limits_{\alpha}\mathscr{E}_{\alpha} также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Таким образом, для любого заданного семейства \mathscr{E} подмножеств множества E существует минимальная структура, например сигма-алгебра (или кольцо или др.), содержащее данное семейство подмножеств \mathscr{E}. Для сигма-алгебры это \sigma(\mathscr{E})=\bigcap\limits_{\alpha}\mathscr{E}_{\alpha}, где \mathscr{E}_{\alpha} - сигма-алгебра, такая, что \mathscr{E}\subset \mathscr{E}_{\alpha}

Основные системы подмножеств

Исследуемые модели могут быть построены на различных множествах (графах, абстрактных пространствах). Для их анализа нужны не только исходное абстрактное пространство, но и всевозможные его подмножества. Они дают математический образ различных состояний модели.

Операции над элементами системы подмножеств должны приводить к элементам из той же системы подмножеств, чтобы иметь возможность оперированием понятия возмущения и изменения системы и изучать отклик системы на это возмущение или изменение, т.е. придерживаться стандартной схемы исследования. Элементы исходного пространства естественно называть элементарными состояниями, а его подмножества – просто состояниями.
Посмотрим, какие системы множеств есть в нашем распоряжении.

E - заданное множество (пространство элементарных событий). Множество всех его подмножеств обозначаем через 2^E. Используются следующие системы подмножеств:

Полукольцо и полуалгебра
Кольцо и алгебра
Сигма-кольцо и сигма-алгебра
Монотонный класс
Пи- и ламбда- системы
Операции с элементами семейств множеств с точки зрения алгебры
Несмотря на то, что в указанных выше определениях фигурируют объединение, пересечение, разность множеств, пересечение – есть аналог произведения с нейтральным элементом в виде заданного множества E, а в качестве сложения выступает симметрическая разность
A\bigtriangleup B=(A\backslash B)\bigcup (B\backslash A)=(A\bigcup B)\backslash(A\bigcap B)
с нейтральным элементом \varnothing. Посредством симметрической разности имеем очевидные представления:
A\bigcup B=(A\bigtriangleup B)\bigtriangleup (A\bigcap B),
A\backslash B=A\bigtriangleup (A\bigcap B).
Операция взятия симметричной разности и ее обратная операция совпадают и
 A\bigtriangleup A=\varnothing.
Операция объединения множеств обратной операции не имеет!
Структуры, порожденные заданным семейством множеств
Множество всех подмножеств 2^E заданного множества E является и кольцом и сигма-алгеброй. Правомерна постановка вопроса и наименьшем кольце, сигма-алгебре и т.п., содержащих заданное семейство \mathscr{E} помножеств E. Очевидно, что если есть семейства подмножеств \{\mathscr{E}_{\alpha}\}, являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств \bigcap\limits_{\alpha}\mathscr{E}_{\alpha} также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Поэтому интересны:
Минимальные структуры, содержащие заданную систему множеств
Борелевские множества
В одном из интересных для нас случаев, множество E представляет всю действительную прямую R=(-\infty,\infty). Тогда в качестве системы подмножеств интересны множества всех открытых интервалов, всех замкнутых интервалов, всех полуоткрытых интервалов. Однако отдельно открытые или замкнутые интервалы не образуют \sigma-алгебру, поскольку имеем очевидные соотношения
(a,b)=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}(a,b-\frac{1}{n}], a<b, [a,b]=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},b], a<b, \{a\}=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},a]. Можно, однако, рассмотреть наименьшую \sigma-алгебру, содержащую систему открытых интервалов (или замкнутых интервалов). Эта сигма-алгебра называется борелевской алгеброй \mathscr{B}(R) множеств числовой прямой, а ее множества - борелевскими множествами. Борелевская алгебра наряду с интервалами вида (a,b] входят одноточечные множества \{a\}, а также любое из множеств [a,b], [a,b), (a,b), (-\infty,b], (-\infty,b), (a,\infty), [a,\infty). Аналогично строится борелевская алгебра \mathscr{B}(R^N), причем оказывается, что \mathscr{B}(R^N)=\mathscr{B}(R)\otimes\mathscr{B}(R)\otimes\cdots\otimes\mathscr{B}(R), где в правой части записана наименьшая сигма-алгебра, содержащая все N-мерные прямоугольники B=B_1\times B_2\times\cdots\times B_N с борелевскими сторонами B_i\in\mathscr{B}(R), i=1,\cdots\,N.
Польские пространства