Читать далее Введение в теорию стохастических дифференциальных уравнений
Архив рубрики: Математический аппарат физики
Материалы с рассказом о математическом аппарате физики
Задачи на приращения, дифференциал и производные
Без уверенного владения техникой приращений
невозможно понимание физики !
Это - основной математический аппарат физики !
- Базовые задачи
.
,
. Итак
.
,
. Итак
,
.
,
. В результате
,
,
.
. Запишем полученное выражение как
.
Из формулы для суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии
, так что
.
Всего перемножается скобок. Если из каждой скобки взять по одному слагаемому и перемножить, то получим слагаемых. Среди них будет ровно штук вида . Почему? Чтобы получить слагаемое, содержащее ровно одну величину , надо только из одной скобки выбрать , а из оставшихся . Оставшихся скобок штука, а возможности выбора определяются числом скобок . Поэтому имеем
Здесь тремя точками обозначены слагаемые, содержащие в квадрате, кубе и т.д. до степени включительно. Главное - слагаемые, отмеченные тремя точками не содержат линейных по слагаемых! В результате имеем
,
,
. Множитель состоит из единицы и слагаемых, содержащие различные натуральные степени . Поэтому линейное по слагаемое в имеет вид
,
Как обычно, три точки обозначают слагаемые, содержащие степени не ниже второй от величины .
Как обычно, три точки обозначают слагаемые, содержащие в степенях 2, 3 и выше. Отсюда
Здесь под слагаемыми, обозначенными тремя точками можно считать слагаемые, содержащие множители в степенях, выше первой (т.е.2, 3, и т.д.), если предполагать справедливость разложения
Поэтому получаем
.
где тремя точками обозначены слагаемые, содержащие в степенях от второй и выше.
Рассмотрим приращение
Здесь нижний индекс у производной подчеркивает, что переменной, по которой берется производная, является именно . Три точки обозначают слагаемые, содержащие, по сравнению с выписанным слагаемым, более высокие степени . Если учесть представление для , то те три точки можно рассматривать как слагаемые, содержащие степени выше первой. В результате
, так что
.
где тремя точками обозначены слагаемые, содержащие в степенях от второй и выше.
Рассмотрим приращение
Тремя точками обозначены слагаемые, содержащие в квадрате, кубе и т.д. Подчеркнем, что это, вообще говоря, другие слагаемые, нежели в выписанных выше формулах. В результате имеем
,
.
Пусть . Имеем
.
Переобозначая переменную, получаем окончательно
.
.
. Откуда по формуле дифференцирования сложной функции : .
.
.
Обозначение семейства первообразных функции :
. Т.е., если – некоторая первообразная, то
. При этом
. Поэтому один из способом вычисления первообразных, который также используется для решения дифференциальных уравнений – это внесение под знак дифференциала функции в выражениях .
, но .
Последнее означает:
.
3 Некоторые частные случаи.
4 Некоторые часто встречающиеся случаи.
Т.е первообразные даются формулой
.
Проделайте то же для представления переменной через котангенс .
.
Т.е первообразные даются формулой
.
. Таким образом,
,
.
Проделайте то же для представления переменной через косинус .
Такое преобразование встречается при выводе выражения для энергии в релятивистской механике.
.
.
Здесь одно слагаемое уже представлено дифференциалом. Для другого слагаемого имеем:
,
так что
.
Такое преобразование встречается при выводе выражения для энергии в релятивистской механике. Найдите также другой способ решения этой задачи!
и их решенияСведение уравнений
к базовымТипичные
примеры
или для малых
или ,
или ,
то для имеем решение:
.
Элементарное доказательство
на подинтервалов, таких, что
являются малыми приращениями и для них выполнено условие
.
Тогда сумма последовательных приращений
Т.е. .
Отличие пропорционально сумме слагаемых, пропорциональных . Величина таких слагаемых порядка . Их число . Так что отличие стремится к нулю с ростом .
2 Если при для некоторых и и выполнено:
или для малых
или ,
или ,
то для имеем решение:
.
Величина, обозначенная как , в пунктах 1 и 2 разная ! Она находится из начальных условий задачи !
с начальными условиями . Здесь – постоянные величины.
Решение
Перепишем уравнение в виде равенства дифференциалов:
и сведем его базовому:
. Отсюда .
Константа не зависит от времени . Подставляя значения при :
. Отсюда .
Теперь запишем в дифференциалах уравнение :
. Отсюда
. Здесь другая постоянная, которая из начальных условий находится равной . Итак,
.
Получились формулы для равноускоренного движения !
2 Решить уравнение
с начальными условиями . Здесь – постоянные величины.
Решение путем сведения к базовым уравнениям
. Но , так что .
Отсюда . Находим, что
. Ограничиваясь определенной областью изменения , характеризуемой определенным знаком, например плюсом, снова записываем уравнение в дифференциалах:
.
С учетом полученных ранее результатов введем новую переменную по формуле
. Тогда , откуда , .
Вместо нахождения константы из этой формулы, лучше переписать решение как
,
,
откуда новые константы и легко находятся как
.
Читать далее Задачи на приращения, дифференциал и производные
Основные системы подмножеств
Случай конечного числа элементов множества
.
Поэтому обозначение для семейства всех подмножеств множества довольно естественно. Здесь - число сочетаний из элементов по .
Сепарабельное пространство
Топологическое пространство, обладающее счетной базой.
Полное метрическое пространство
Cистемы, порожденные семействами подмножеств
Исследуемые модели могут быть построены на различных множествах (графах, абстрактных пространствах). Для их анализа нужны не только исходное абстрактное пространство, но и всевозможные его подмножества. Они дают математический образ различных состояний модели.
Посмотрим, какие системы множеств есть в нашем распоряжении.
- заданное множество (пространство элементарных событий). Множество всех его подмножеств обозначаем через . Используются следующие системы подмножеств:
Несмотря на то, что в указанных выше определениях фигурируют объединение, пересечение, разность множеств, пересечение – есть аналог произведения с нейтральным элементом в виде заданного множества , а в качестве сложения выступает симметрическая разность
с нейтральным элементом . Посредством симметрической разности имеем очевидные представления:
,
.
Операция взятия симметричной разности и ее обратная операция совпадают и
.
Операция объединения множеств обратной операции не имеет!
Множество всех подмножеств заданного множества является и кольцом и сигма-алгеброй. Правомерна постановка вопроса и наименьшем кольце, сигма-алгебре и т.п., содержащих заданное семейство помножеств . Очевидно, что если есть семейства подмножеств , являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Поэтому интересны:
В одном из интересных для нас случаев, множество представляет всю действительную прямую . Тогда в качестве системы подмножеств интересны множества всех открытых интервалов, всех замкнутых интервалов, всех полуоткрытых интервалов. Однако отдельно открытые или замкнутые интервалы не образуют -алгебру, поскольку имеем очевидные соотношения
, , , , . Можно, однако, рассмотреть наименьшую -алгебру, содержащую систему открытых интервалов (или замкнутых интервалов). Эта сигма-алгебра называется борелевской алгеброй множеств числовой прямой, а ее множества - борелевскими множествами. Борелевская алгебра наряду с интервалами вида входят одноточечные множества , а также любое из множеств , , , , , , . Аналогично строится борелевская алгебра , причем оказывается, что , где в правой части записана наименьшая сигма-алгебра, содержащая все -мерные прямоугольники с борелевскими сторонами , .
Вектора и их произведения
Взгляд на вектора и их произведения в духе моих лекций по математическому аппарату физики.
Читать далее Вектора и их произведения
Темы исследовательских работ для старшеклассников
Темы исследований, которые вполне под силу старшеклассникам и приближают их к передовым рубежам современной науки. Во всяком случае они изучат современные разделы математики, которые мало пока востребованы в практике, но мне представляются актуальными...
Читать далее Темы исследовательских работ для старшеклассниковСлучайные процессы и СДУ. Лекция 1
Вводная лекция моего курса в МФТИ "Случайные процессы и стохастические дифференциальные уравнения". Цель первой лекции - на пальцах показать необычные свойства дифференциалов и интегралов от случайных функций и связь стохастических дифференциальных уравнений с кинетическими уравнениями. Дано представление о едином подходе к получению кинетических уравнений открытых систем, как классических, так и квантовых. Материалы курса будут выложены позднее. Другие лекции в силу особого режима Курчатовского института, где проходили занятия, записать не удалось. Надеюсь, что удастся записать в следующем учебном году. Некоторые основные идеи курса были также изложены на молодежной научной школе "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" и опубликованы в работе: А.М. Башаров. Просто о стохастических дифференциальных уравнениях. XVII Всероссийская молодежная научная школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Сб. лекционных статей), Казань, 14 - 16 октября, 2013 г. С. 19 - 47.