Множество (набор) различных элементов в количестве n штук называем, следуя Феллеру, генеральной совокупностью из n элементов. Например, $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$.
Произвольное упорядоченное множество ($a_{i_1},\cdots,a_{i_k})$ из k элементов, входящих в генеральную совокупность, называем выборкой объема $k$ (или просто выбором) из этой генеральной совокупности. В случае одной генеральной совокупности из n элементов ее элементы можно просто называть числами 1,2,…,n.

Если имеем две генеральной совокупности $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ и $B=\{b_1,b_2,\cdots,b_m\}$, то можно построить $mn$ различных пар элементов $(a_i,b_j)$.
Очевидно обобщение на случай многих генеральных совокупностей.

Надо чисто операционно представить выборку как совокупность нескольких последовательных действий. Например, составление пары из основной теоремы:
1-е действие. Выбрать первый элемент пары можно $n$ способами по числу элементов генеральной совокупности $A$.
2-е действие. Выбрать второй элемент пары можно $k$ способами по числу элементов генеральной совокупности $B$.
Тогда число различных пар - $mn$.

Генеральная совокупность представляет собой набор шаров, находящихся в урне.
Есть следующие возможные способы выбора.
1. Выбор с возвращением: каждый вынутый шар возвращается в урну, каждый следующий шар выбирается из полной урны. В полученном наборе из k номеров шаров могут встречаться одни и те же номера.
2. Выбор без возвращения: вынутые шары в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера.
Две возможности считать результаты выбора различными:
а. Выбор с учётом порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. Так, наборы (1, 5, 2), (2, 5, 1) и (4, 4, 5) считаются различными наборами.
б. Выбор без учёта порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом. Так, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 3) различны, а наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются.
Выбор с возвращением и учетом порядка. По основной теореме для генеральной совокупности из n элементов всего $n^k$ выборок объема $k$.
Выбор без возвращения, но с учетом порядка. Такие выборки называют также размещениями (при этом в задачах о размещении по ящикам, например, шаров порядок шаров может и не учитываться, но результат также называют размещением).
По основной теореме для генеральной совокупности из n элементов всего $(n)_k\equiv n(n-1)\cdots(n-k+1)$ выборок объема $k$. Иногда используют обозначения
$A_n^k=(n)_k= n(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$.
В случае $k=n$ такие размещения называют перестановками. Их число $n!$.
Выбор без возвращения и без учета порядка. Такие выборки называют сочетаниями и их число обозначают как $C_n^k$. Сочетания учитывают только наличие элементов в выборке без учета их порядка.
Первый способ.
По основной идее подсчета различных выборок объема $n$ (или перестановок) имеем, с одной стороны $C_n^k$ групп генеральных совокупностей из $k$ и $n-k$. Так что по основной теореме $n! =C_n^kk! (n-k)!$. С другой стороны, это число перестановок и равно оно $n!$. Так что
$n! =C_n^kk! (n-k)!$.
Откуда
$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Второй способ.
Если учитывать порядок, то это размещения по $k$ элементов. Их различное число $k!$. Так что без учета порядка будет в такое же число раз меньше:
$C_n^k=\frac{(n)_k}{k!}$.
Выбор c возвращением, но без учета порядка.
Из $n$ элементов выбираем $k$ штук, которые различаются лишь количеством разных элементов из генеральной совокупности.
Число возможных вариантов: $C_{n+k_1}^k=C_{n+k-1}^{n-1}.<br /> ????????? ??????, ??????? ??? ? ????? ?????? ?? k ????? ???????? ?????? ?????. ??????? ????????? ?????? ????? ??????????? ??????? ?????$k_1,…,k_n$, ? ???????$k_i\geq 0$- ????? ????????? ????? i ? ??????,$k_1+…+ k_n=k$. ??? ?????????? ?????? ? ???????????? ? ??? ????? ??????? ???????????, ???? ??????????????? ?? ????????????? ??????$k_1,…,k_n/) не совпадают. Но это - то же самое, что размещение $k$ чисел по $n$ ячейкам или ящикам. Рассмотрение этого типа задач – в следующем спойлере.

Без учета порядка
Есть n ящиков, в которых размещаются k шаров. Число шаров в каждом ящике соответственно, $k_1,?,k_n$, $k_i\geq 0$ - числу шаров в ящике с номером i. При этом $k_1+?+ k_n=k$.
Результат такого размещения изобразим в виде схемы, в которой вертикальные линии обозначают перегородки между ящиками, а точки - находящиеся в ящиках шары:
| • • • | | • | • • | • • | | • |
Выше представлен результат размещения девяти шаров по семи ящикам. Первый ящик содержит три шара, второй и шестой ящики пусты, третий ящик содержит один шар, в четвёртом и пятом ящиках лежит по два шара.
Чем характеризуются ящики ? Очевидно стенками. При этом есть внутренние стенки и внешние, всего $n+1$ стенка, из них внутренних - $n-1$.
Перекладывание шара из одного ящика в соседний – это все равно, что передвинуть стенку между ящиками. Например, из крайнего левого ящика переложили шар в соседний справа или передвинули первую левую внутреннюю перегородку влево – результат одинаков:
| • • | • | • | • • | • • | | • |
Видим, что имеется $n-1+k$ «посадочных» мест и все размещения (без учета порядка в ящиках) можно получить, меняя между собой шары и перегородки, т.е. расставляя $k$ шаров на $n-1+k$ местах или $n-1$ внутреннюю перегородку на тех же $n-1+k$ местах. Оставшиеся места займут соответственно перегородки между ящиками или шары.
Важно ! Число $n-1+k$ получается так: у $n$ ящиков есть ровно $n+1$ перегородка, считая крайние, но из них перемещать можно лишь $n-1$ внутреннюю перегородку. Таким образом, имеется $n-1+k$ мест, которые можно занять шарами либо внутренними перегородками. Перебрав все возможные способы расставить $k$ шаров на этих $n-1+k$ местах, переберём и все нужные размещения. Осталось заметить, что существует $C_{n+k-1}^k=C_{n+k-1}^{n-1}$ способов выбрать места для $k$ шаров на $n-1+k$ местах.
Учета порядка размещения шаров в ящике проходит с учетом основной теоремы и перестановок шаров в заданном ящике!