Читать далее Введение в теорию стохастических дифференциальных уравнений
Архив рубрики: Математика студентам
Учебные материалы по математике для студентов и аспирантов
Задачи к лекциям по ТВ.
Элементарная комбинаторика
Задачи (утверждения), которые надо уметь решать (доказывать) на экзамене/зачете.
В РАБОТЕ !!!
>Теор
минимумЗадачи с
решениямиТипичные
задачиК зачету
экзамену
а) последовательность содержит ровно нуля, причем два из них находятся на концах последовательности,
б) последовательность содержит ровно m единиц,
в) в последовательности ровно нулей, единиц, двоек.
Решение.
A – начало последовательности никак не зависит от продолжения, поэтому P(A)=1/3
B – Последовательностей, которые начинаются и заканчиваются нулем, 1/9=1/3*1/3 от общего числа последовательностей. Всего таких последовательностей 3^{n-2}. Из них C_{n-2}^{m}*2^{n-m-2} содержат нули (n\geq m+2). Итого P(B)=(1/9)* C_{n-2}^{m}/3^{n-2}.
C – Если выбрать из n C_n^m , то их можно положить равными 1, тогда оставшихся наборов из n-m элементов (n\geq m), составленных из 0 и 2 будет 2^{n-m} штук. Всего требуемых наборов будет C_n^m*2^{n-m} штук. P(C)= C_n^m*2^{n-m}/3^n.
D – нули выбрать можно C_n^{m_0} способами. Из оставшихся n-m_0 элементов единицы можно выбрать C_{n-m_0}^{m_1} способами, а остальными и так будут двойки, т.к. m_0+m_1+m_2=n, так что всего имеем C_n^{m_0} C_{n-m_0}^{m_1} способов. P(D)= C_n^{m_0} C_{n-m_0}^{m_1}/3^n.
а) трёхзначных чисел бывает 9 • 10 • 10 = 900;
б) трёхзначных чисел, все цифры которых различны, существует 9 • 9• 8.
2. Найти количество различных результатов в следующих экспериментах:
а) из алфавита выбирают три разные буквы и составляют слово;
б) из различных ненулевых цифр составляют трёхзначное число;
3. Найти количество различных результатов в следующих экспериментах:
а) из колоды в 36 карт выдают три карты одному игроку;
б) из двадцати учеников класса выбирают троих дежурных.
4. Найти количество различных результатов в следующих экспериментах:
а) пятизначное число составляют из одних нечётных цифр.
б) обезьяна напечатала на машинке слово из десяти букв;
в) составляют слово длиной в 10 символов из нулей и единиц;
5. Найти:
а) количество способов разложить число в сумму целых неотрицательных слагаемых, если важен порядок следования слагаемых;
б) число возможных результатов подбрасывания двух игральных костей, если кости считаются неразличимыми. То же самое для трёх игральных костей.
2) Сколькими способами можно разместить n неразличимых между собой частиц в N различимых ячейках (ящиках), пронумерованных номерами от 1 до N.
>Теорминимум
Основные системы подмножеств
Случай конечного числа элементов множества
.
Поэтому обозначение для семейства всех подмножеств множества довольно естественно. Здесь - число сочетаний из элементов по .
Сепарабельное пространство
Топологическое пространство, обладающее счетной базой.
Полное метрическое пространство
Cистемы, порожденные семействами подмножеств
Исследуемые модели могут быть построены на различных множествах (графах, абстрактных пространствах). Для их анализа нужны не только исходное абстрактное пространство, но и всевозможные его подмножества. Они дают математический образ различных состояний модели.
Посмотрим, какие системы множеств есть в нашем распоряжении.
- заданное множество (пространство элементарных событий). Множество всех его подмножеств обозначаем через . Используются следующие системы подмножеств:
Несмотря на то, что в указанных выше определениях фигурируют объединение, пересечение, разность множеств, пересечение – есть аналог произведения с нейтральным элементом в виде заданного множества , а в качестве сложения выступает симметрическая разность
с нейтральным элементом . Посредством симметрической разности имеем очевидные представления:
,
.
Операция взятия симметричной разности и ее обратная операция совпадают и
.
Операция объединения множеств обратной операции не имеет!
Множество всех подмножеств заданного множества является и кольцом и сигма-алгеброй. Правомерна постановка вопроса и наименьшем кольце, сигма-алгебре и т.п., содержащих заданное семейство помножеств . Очевидно, что если есть семейства подмножеств , являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Поэтому интересны:
В одном из интересных для нас случаев, множество представляет всю действительную прямую . Тогда в качестве системы подмножеств интересны множества всех открытых интервалов, всех замкнутых интервалов, всех полуоткрытых интервалов. Однако отдельно открытые или замкнутые интервалы не образуют -алгебру, поскольку имеем очевидные соотношения
, , , , . Можно, однако, рассмотреть наименьшую -алгебру, содержащую систему открытых интервалов (или замкнутых интервалов). Эта сигма-алгебра называется борелевской алгеброй множеств числовой прямой, а ее множества - борелевскими множествами. Борелевская алгебра наряду с интервалами вида входят одноточечные множества , а также любое из множеств , , , , , , . Аналогично строится борелевская алгебра , причем оказывается, что , где в правой части записана наименьшая сигма-алгебра, содержащая все -мерные прямоугольники с борелевскими сторонами , .
Случайные процессы и СДУ. Лекция 1
Вводная лекция моего курса в МФТИ "Случайные процессы и стохастические дифференциальные уравнения". Цель первой лекции - на пальцах показать необычные свойства дифференциалов и интегралов от случайных функций и связь стохастических дифференциальных уравнений с кинетическими уравнениями. Дано представление о едином подходе к получению кинетических уравнений открытых систем, как классических, так и квантовых. Материалы курса будут выложены позднее. Другие лекции в силу особого режима Курчатовского института, где проходили занятия, записать не удалось. Надеюсь, что удастся записать в следующем учебном году. Некоторые основные идеи курса были также изложены на молодежной научной школе "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" и опубликованы в работе: А.М. Башаров. Просто о стохастических дифференциальных уравнениях. XVII Всероссийская молодежная научная школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Сб. лекционных статей), Казань, 14 - 16 октября, 2013 г. С. 19 - 47.
Основы математического аппарата физики
Новые темы для диссертаций
Обновлено содержание тем для учебно-исследовательской, научно-исследовательской и диссертационной работ, при выполнении которых я могу оказывать помощь.
Добавлены следующие интересующие меня творческие темы:
VIII. Двухфотонный спонтанный распад как квантовый процесс Леви.
Есть идея, но никак пока она никак не реализуется.
Литература:
1. А.М.Башаров. Теория открытых систем на основе стохастических дифференциальных уравнений. Опт и спектроскопия 2014, Т.116, В.4, С.2-10.
IX. Невинеровский спонтанный распад атомного ансамбля в вакуумном поле с ненулевой плотность фотонов.
Здесь фундаментальная проблема обобщения алгебры Хадсона-Партасарати...
Литература:
1. А.М.Башаров. Квантовая теория открытых систем на основе стохастических дифференциальных уравнений. XV Международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Сб. лекционных заметок), Казань, 24 — 26 октября, 2011 г. С. 25 — 42.
Темы для диссертации, учебно-исследовательской, научно-исследовательской и дипломной работ
Чтобы самостоятельно выполнить работу, достаточно изучить предлагаемую литературу. После этого должны быть понятны представленные задачи и методы их решения.
Рутинные темы