Архив рубрики: Математика студентам

Учебные материалы по математике для студентов и аспирантов

Задачи к лекциям по ТВ.
Элементарная комбинаторика

Задачи к лекциям по ТВ. Элементарная комбинаторика
Основное в теории и примеры решения задач.
Задачи (утверждения), которые надо уметь решать (доказывать) на экзамене/зачете.
В РАБОТЕ !!!
1. Элементарная перечислительная комбинаторика
>
>
Теор
минимум
Задачи с
решениями
Типичные
задачи
К зачету
экзамену
Определения
Основная теорема
Идея подсчета количества разных выборок
Урновые задачи
Задачи размещения по ящикам
1. Из множества всех последовательностей длины n, состоящих из цифр 0, 1, 2, случайно выбирается одна. Найти число возможных последовательностей:
а) последовательность содержит ровно m + 2 нуля, причем два из них находятся на концах последовательности,
б) последовательность содержит ровно m единиц,
в) в последовательности ровно m_0 нулей, m_1 единиц, m_2 двоек.
Решение.
A – начало последовательности никак не зависит от продолжения, поэтому P(A)=1/3
B – Последовательностей, которые начинаются и заканчиваются нулем, 1/9=1/3*1/3 от общего числа последовательностей. Всего таких последовательностей 3^{n-2}. Из них C_{n-2}^{m}*2^{n-m-2} содержат нули (n\geq m+2). Итого P(B)=(1/9)* C_{n-2}^{m}/3^{n-2}.
C – Если выбрать из n C_n^m , то их можно положить равными 1, тогда оставшихся наборов из n-m элементов (n\geq m), составленных из 0 и 2 будет 2^{n-m} штук. Всего требуемых наборов будет C_n^m*2^{n-m} штук. P(C)= C_n^m*2^{n-m}/3^n.
D – нули выбрать можно C_n^{m_0} способами. Из оставшихся n-m_0 элементов единицы можно выбрать C_{n-m_0}^{m_1} способами, а остальными и так будут двойки, т.к. m_0+m_1+m_2=n, так что всего имеем C_n^{m_0} C_{n-m_0}^{m_1} способов. P(D)= C_n^{m_0} C_{n-m_0}^{m_1}/3^n.
1. Доказать, что:
а) трёхзначных чисел бывает 9 • 10 • 10 = 900;
б) трёхзначных чисел, все цифры которых различны, существует 9 • 9• 8.

2. Найти количество различных результатов в следующих экспериментах:
а) из алфавита выбирают три разные буквы и составляют слово;
б) из различных ненулевых цифр составляют трёхзначное число;

3. Найти количество различных результатов в следующих экспериментах:
а) из колоды в 36 карт выдают три карты одному игроку;
б) из двадцати учеников класса выбирают троих дежурных.

4. Найти количество различных результатов в следующих экспериментах:
а) пятизначное число составляют из одних нечётных цифр.
б) обезьяна напечатала на машинке слово из десяти букв;
в) составляют слово длиной в 10 символов из нулей и единиц;

5. Найти:
а) количество способов разложить число k \in N в сумму n целых неотрицательных слагаемых, если важен порядок следования слагаемых;
б) число возможных результатов подбрасывания двух игральных костей, если кости считаются неразличимыми. То же самое для трёх игральных костей.

1) Сколько различных производных порядка k дифференцируемой функции n переменных.
2) Сколькими способами можно разместить n неразличимых между собой частиц в N различимых ячейках (ящиках), пронумерованных номерами от 1 до N.
2. Элементарный подсчет вероятностей
>
>
Теорминимум

Основные системы подмножеств

© Башаров А.М. 2015

Случай конечного числа элементов множества E

В случае конечного числа N элементов множества E число его подмножеств, т.е. число элементов 2^E, равно

\sum\limits_{M=0}^{N}C_N^M=(1+1)^N=2^N.

Поэтому обозначение 2^E для семейства всех подмножеств множества E довольно естественно. Здесь C_N^M - число сочетаний из N элементов по M.

Сепарабельное пространство

Содержит не более чем счетное всюду плотное множество.
Топологическое пространство, обладающее счетной базой.

Полное метрическое пространство

Метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел.

Cистемы, порожденные семействами подмножеств

Множество всех подмножеств 2^E заданного множества E является и кольцом и сигма-алгеброй. Очевидно, что если есть семейства подмножеств \{\mathscr{E}_{\alpha}\}, являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств \bigcap\limits_{\alpha}\mathscr{E}_{\alpha} также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Таким образом, для любого заданного семейства \mathscr{E} подмножеств множества E существует минимальная структура, например сигма-алгебра (или кольцо или др.), содержащее данное семейство подмножеств \mathscr{E}. Для сигма-алгебры это \sigma(\mathscr{E})=\bigcap\limits_{\alpha}\mathscr{E}_{\alpha}, где \mathscr{E}_{\alpha} - сигма-алгебра, такая, что \mathscr{E}\subset \mathscr{E}_{\alpha}

Основные системы подмножеств

Исследуемые модели могут быть построены на различных множествах (графах, абстрактных пространствах). Для их анализа нужны не только исходное абстрактное пространство, но и всевозможные его подмножества. Они дают математический образ различных состояний модели.

Операции над элементами системы подмножеств должны приводить к элементам из той же системы подмножеств, чтобы иметь возможность оперированием понятия возмущения и изменения системы и изучать отклик системы на это возмущение или изменение, т.е. придерживаться стандартной схемы исследования. Элементы исходного пространства естественно называть элементарными состояниями, а его подмножества – просто состояниями.
Посмотрим, какие системы множеств есть в нашем распоряжении.

E - заданное множество (пространство элементарных событий). Множество всех его подмножеств обозначаем через 2^E. Используются следующие системы подмножеств:

Полукольцо и полуалгебра
Кольцо и алгебра
Сигма-кольцо и сигма-алгебра
Монотонный класс
Пи- и ламбда- системы
Операции с элементами семейств множеств с точки зрения алгебры
Несмотря на то, что в указанных выше определениях фигурируют объединение, пересечение, разность множеств, пересечение – есть аналог произведения с нейтральным элементом в виде заданного множества E, а в качестве сложения выступает симметрическая разность
A\bigtriangleup B=(A\backslash B)\bigcup (B\backslash A)=(A\bigcup B)\backslash(A\bigcap B)
с нейтральным элементом \varnothing. Посредством симметрической разности имеем очевидные представления:
A\bigcup B=(A\bigtriangleup B)\bigtriangleup (A\bigcap B),
A\backslash B=A\bigtriangleup (A\bigcap B).
Операция взятия симметричной разности и ее обратная операция совпадают и
 A\bigtriangleup A=\varnothing.
Операция объединения множеств обратной операции не имеет!
Структуры, порожденные заданным семейством множеств
Множество всех подмножеств 2^E заданного множества E является и кольцом и сигма-алгеброй. Правомерна постановка вопроса и наименьшем кольце, сигма-алгебре и т.п., содержащих заданное семейство \mathscr{E} помножеств E. Очевидно, что если есть семейства подмножеств \{\mathscr{E}_{\alpha}\}, являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств \bigcap\limits_{\alpha}\mathscr{E}_{\alpha} также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Поэтому интересны:
Минимальные структуры, содержащие заданную систему множеств
Борелевские множества
В одном из интересных для нас случаев, множество E представляет всю действительную прямую R=(-\infty,\infty). Тогда в качестве системы подмножеств интересны множества всех открытых интервалов, всех замкнутых интервалов, всех полуоткрытых интервалов. Однако отдельно открытые или замкнутые интервалы не образуют \sigma-алгебру, поскольку имеем очевидные соотношения
(a,b)=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}(a,b-\frac{1}{n}], a<b, [a,b]=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},b], a<b, \{a\}=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},a]. Можно, однако, рассмотреть наименьшую \sigma-алгебру, содержащую систему открытых интервалов (или замкнутых интервалов). Эта сигма-алгебра называется борелевской алгеброй \mathscr{B}(R) множеств числовой прямой, а ее множества - борелевскими множествами. Борелевская алгебра наряду с интервалами вида (a,b] входят одноточечные множества \{a\}, а также любое из множеств [a,b], [a,b), (a,b), (-\infty,b], (-\infty,b), (a,\infty), [a,\infty). Аналогично строится борелевская алгебра \mathscr{B}(R^N), причем оказывается, что \mathscr{B}(R^N)=\mathscr{B}(R)\otimes\mathscr{B}(R)\otimes\cdots\otimes\mathscr{B}(R), где в правой части записана наименьшая сигма-алгебра, содержащая все N-мерные прямоугольники B=B_1\times B_2\times\cdots\times B_N с борелевскими сторонами B_i\in\mathscr{B}(R), i=1,\cdots\,N.
Польские пространства

Случайные процессы и СДУ. Лекция 1

Вводная лекция моего курса в МФТИ "Случайные процессы и стохастические дифференциальные уравнения". Цель первой лекции - на пальцах показать необычные свойства дифференциалов и интегралов от случайных функций и связь стохастических дифференциальных уравнений с кинетическими уравнениями. Дано представление о едином подходе к получению кинетических уравнений открытых систем, как классических, так и квантовых. Материалы курса будут выложены позднее. Другие лекции в силу особого режима Курчатовского института, где проходили занятия, записать не удалось. Надеюсь, что удастся записать в следующем учебном году. Некоторые основные идеи курса были также изложены на молодежной научной школе "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" и опубликованы в работе: А.М. Башаров. Просто о стохастических дифференциальных уравнениях. XVII Всероссийская молодежная научная школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Сб. лекционных статей), Казань, 14 - 16 октября, 2013 г. С. 19 - 47.

Основы математического аппарата физики

© Башаров А.М. 2014
АННОТАЦИЯ
Основные лекции

Читать далее Основы математического аппарата физики

Новые темы для диссертаций

Обновлено содержание тем для учебно-исследовательской, научно-исследовательской и диссертационной работ, при выполнении которых я могу оказывать помощь.

Добавлены следующие интересующие меня творческие темы:

VIII. Двухфотонный спонтанный распад как квантовый процесс Леви.
Есть идея, но никак пока она никак не реализуется.
Литература:
1. А.М.Башаров. Теория открытых систем на основе стохастических дифференциальных уравнений. Опт и спектроскопия 2014, Т.116, В.4, С.2-10.

IX. Невинеровский спонтанный распад атомного ансамбля в вакуумном поле с ненулевой плотность фотонов.
Здесь фундаментальная проблема обобщения алгебры Хадсона-Партасарати...
Литература:
1. А.М.Башаров. Квантовая теория открытых систем на основе стохастических дифференциальных уравнений. XV Международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Сб. лекционных заметок), Казань, 24 — 26 октября, 2011 г. С. 25 — 42.

Темы для диссертации, учебно-исследовательской, научно-исследовательской и дипломной работ

PhD_themes

Чтобы самостоятельно выполнить работу, достаточно изучить предлагаемую литературу. После этого должны быть понятны представленные задачи и методы их решения.

Рутинные темы

Читать далее Темы для диссертации, учебно-исследовательской, научно-исследовательской и дипломной работ