Архив рубрики: Математика

Все материалы по математике

Задача с биссектрисой

Главное - найти дополнительное построение

Задача с биссектрисой

>Очевидные построенияРезультатЧто дальше
Сделайте очевидные построения
Отмечаем прямые углы
Задача с биссектрисой
Вспоминаем про геометрическое место точек, из которых виден отрезок под заданным углом
Дополнительное построение и решение
Пояснение к решению

Задачи к лекциям по ТВ.
Элементарная комбинаторика

Задачи к лекциям по ТВ. Элементарная комбинаторика
Основное в теории и примеры решения задач.
Задачи (утверждения), которые надо уметь решать (доказывать) на экзамене/зачете.
В РАБОТЕ !!!
1. Элементарная перечислительная комбинаторика
>
>
Теор
минимум
Задачи с
решениями
Типичные
задачи
К зачету
экзамену
Определения
Основная теорема
Идея подсчета количества разных выборок
Урновые задачи
Задачи размещения по ящикам
1. Из множества всех последовательностей длины n, состоящих из цифр 0, 1, 2, случайно выбирается одна. Найти число возможных последовательностей:
а) последовательность содержит ровно m + 2 нуля, причем два из них находятся на концах последовательности,
б) последовательность содержит ровно m единиц,
в) в последовательности ровно m_0 нулей, m_1 единиц, m_2 двоек.
Решение.
A – начало последовательности никак не зависит от продолжения, поэтому P(A)=1/3
B – Последовательностей, которые начинаются и заканчиваются нулем, 1/9=1/3*1/3 от общего числа последовательностей. Всего таких последовательностей 3^{n-2}. Из них C_{n-2}^{m}*2^{n-m-2} содержат нули (n\geq m+2). Итого P(B)=(1/9)* C_{n-2}^{m}/3^{n-2}.
C – Если выбрать из n C_n^m , то их можно положить равными 1, тогда оставшихся наборов из n-m элементов (n\geq m), составленных из 0 и 2 будет 2^{n-m} штук. Всего требуемых наборов будет C_n^m*2^{n-m} штук. P(C)= C_n^m*2^{n-m}/3^n.
D – нули выбрать можно C_n^{m_0} способами. Из оставшихся n-m_0 элементов единицы можно выбрать C_{n-m_0}^{m_1} способами, а остальными и так будут двойки, т.к. m_0+m_1+m_2=n, так что всего имеем C_n^{m_0} C_{n-m_0}^{m_1} способов. P(D)= C_n^{m_0} C_{n-m_0}^{m_1}/3^n.
1. Доказать, что:
а) трёхзначных чисел бывает 9 • 10 • 10 = 900;
б) трёхзначных чисел, все цифры которых различны, существует 9 • 9• 8.

2. Найти количество различных результатов в следующих экспериментах:
а) из алфавита выбирают три разные буквы и составляют слово;
б) из различных ненулевых цифр составляют трёхзначное число;

3. Найти количество различных результатов в следующих экспериментах:
а) из колоды в 36 карт выдают три карты одному игроку;
б) из двадцати учеников класса выбирают троих дежурных.

4. Найти количество различных результатов в следующих экспериментах:
а) пятизначное число составляют из одних нечётных цифр.
б) обезьяна напечатала на машинке слово из десяти букв;
в) составляют слово длиной в 10 символов из нулей и единиц;

5. Найти:
а) количество способов разложить число k \in N в сумму n целых неотрицательных слагаемых, если важен порядок следования слагаемых;
б) число возможных результатов подбрасывания двух игральных костей, если кости считаются неразличимыми. То же самое для трёх игральных костей.

1) Сколько различных производных порядка k дифференцируемой функции n переменных.
2) Сколькими способами можно разместить n неразличимых между собой частиц в N различимых ячейках (ящиках), пронумерованных номерами от 1 до N.
2. Элементарный подсчет вероятностей
>
>
Теорминимум

Задачи на приращения, дифференциал и производные

Без уверенного владения техникой приращений
невозможно понимание физики !
Это - основной математический аппарат физики !

Задачи
  • Базовые задачи
  • Вычисления по определениюпо правиламОсновные правила
    1Вычислить приращение, дифференциал и производную функции:

    1.1. f(x)=c, где c=const. Решение
    f(x+\Delta x)=c,\, \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),
    \Delta f(x)=\Delta c=c-c=0,\, dc=0,\, c'=0.
    1.2. f(x)=bx, где b=const. Решение
    f(x+\Delta x)=b(x+\Delta x),
    \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),
    \Delta f(x)=b(x+\Delta x)-bx=b\Delta x. Итак
    \Delta (bx)=b\Delta x,\, d(bx)=bdx,\, (bx)'=b.
    1.3. f(x)=ax^2, где a=const. Решение
    f(x+\Delta x)=a(x+\Delta x)^2,
    \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),
    \Delta f(x)=a(x+\Delta x)^2-ax^2=2ax\Delta x+a(\Delta x)^2. Итак
    \Delta (ax^2)=2ax\Delta x+a(\Delta x)^2,\, d(ax^2)=2axdx,
    (ax^2)'=2ax.
    1.4. f(x)=ax^2+bx+c, где a,b,c=const. Решение
    f(x+\Delta x)=a(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)+c,
    \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),
    \Delta f(x)=a(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)+c-ax^2-bx-c
    \Delta f(x)=(2ax+b)\Delta x+a(\Delta x)^2. В результате
    \Delta (ax^2+bx+c)=(2ax+b)\Delta x+a(\Delta x)^2,
    d(ax^2+bx+c)=(2ax+b)dx,
    (ax^2+bx+c)'=2ax+b.
    1.5. f(x)=\frac{c}{x}\, , где c=const. Решение
    f(x+\Delta x)=\frac{c}{x+\Delta x},\, \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),
    \Delta f(x)=\frac{c}{x+\Delta x}-\frac{c}{x}=\frac{-c\Delta x}{x(x+\Delta x)}=\frac{-c\Delta x}{x^2(1+\Delta x/x)}. Запишем полученное выражение как
    \Delta f(x)=\frac{-c\Delta x}{x^2}\frac{1}{1+\Delta x/x}.
    Из формулы для суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии
    \frac{1}{1+\Delta x/x}=1-\frac{\Delta x}{x}+(\frac{\Delta x}{x})^2-(\frac{\Delta x}{x})^3+\ldots, так что
    \Delta f(x)\equiv \Delta\frac{c}{x}=-\frac{c\Delta x}{x^2}+\frac{c(\Delta x)^2}{x^3}-\frac{c(\Delta x)^3}{x^4}+\ldots
    d\frac{c}{x}=-\frac{cdx}{x^2}\, ,\, (\frac{c}{x})'=-\frac{c}{x^2}.

    2Вычислить дифференциал и производную функции:

    2.1. f(x)=x^n\, , где n - натуральное число. Решение
    f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^n=
    =(x+\Delta x)\cdot(x+\Delta x)\cdot\ldots\cdot(x+\Delta x)
    Всего перемножается n скобок. Если из каждой скобки взять по одному слагаемому и перемножить, то получим 2^n слагаемых. Среди них будет ровно n штук вида x^{n-1}\Delta x. Почему? Чтобы получить слагаемое, содержащее ровно одну величину \Delta x, надо только из одной скобки выбрать \Delta x, а из оставшихся x. Оставшихся скобок n-1 штука, а возможности выбора \Delta x определяются числом скобок n. Поэтому имеем
    \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)=nx^{n-1}\Delta x+\ldots Здесь тремя точками \ldots обозначены слагаемые, содержащие \Delta x в квадрате, кубе и т.д. до степени n включительно. Главное - слагаемые, отмеченные тремя точками не содержат линейных по \Delta x слагаемых! В результате имеем
    d(x^n)=nx^{n-1}dx\, ,\, (x^n)'=nx^{n-1},
    \Delta (x^n)=d(x^n)+\ldots
    2.2. f(x)=x^{-n}\, , где n - натуральное число. Решение
    f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^{-n}=\frac{1}{(x+\Delta x)^n},
    \Delta f(x)=\frac{1}{(x+\Delta x)^n}-\frac{1}{x^n}=-\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{x^n(x+\Delta x)^n},
    \Delta f(x)=-\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{x^{2n}}(\frac{1}{1+\Delta x/x})^n
    =-\frac{nx^{n-1}\Delta x+\ldots}{x^{2n}}(\frac{1}{1+\Delta x/x})^n. Множитель (\frac{1}{1+\Delta x/x})^n=(1-\frac{\Delta x}{x}+\ldots)^n состоит из единицы и слагаемых, содержащие различные натуральные степени \Delta x. Поэтому линейное по \Delta x слагаемое в \Delta f(x) имеет вид
    d(x^{-n})=-nx^{-1-n}dx,\, (x^{-n})'=-nx^{-n-1},
    \Delta (x^{-n})=d(x^{-n})+\ldots
    Как обычно, три точки \ldots обозначают слагаемые, содержащие степени не ниже второй от величины \Delta x\equiv dx.
    2.3. f(x)=x^{1/n}\, , где n - натуральное число, а x\geq 0. Решение
    Введем y=x^{1/n}. По определению обратной функции (или корня  n -ой степени) x=y^n, так что
    \Delta x=ny^{n-1}\Delta y +\ldots Как обычно, три точки обозначают слагаемые, содержащие  \Delta y в степенях 2, 3 и выше. Отсюда
    \Delta y=\frac{1}{n}y^{1-n}\Delta x +\ldots=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\Delta x +\ldots Здесь под слагаемыми, обозначенными тремя точками можно считать слагаемые, содержащие множители  \Delta x в степенях, выше первой (т.е.2, 3, и т.д.), если предполагать справедливость разложения
    \Delta f(x)=f'(x)\Delta x+\ldots Поэтому получаем
    d(x^{1/n})=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\Delta x , \, (x^{1/n})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1},\, \Delta x \equiv dx.

    3Вычислить дифференциал и производную функции:

    3.1. F(x)=f(g(x)), если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы. Решение
    В силу дифференцируемости имеем представления
    \Delta f(x)=f'(x)\Delta x+\ldots,\, \Delta g(x)=g'(x)\Delta x+\ldots, где тремя точками обозначены слагаемые, содержащие  \Delta x в степенях от второй и выше.
    Рассмотрим приращение
    \Delta F(x)=f(g(x+\Delta x))-f(g(x))=
    =f(g(x)+\Delta g(x))-f(g(x))=f'_g(g(x))\Delta g(x)+\ldots Здесь нижний индекс у производной f'(g) подчеркивает, что переменной, по которой берется производная, является именно g. Три точки обозначают слагаемые, содержащие, по сравнению с выписанным слагаемым, более высокие степени \Delta g(x). Если учесть представление для \Delta g(x), то те три точки можно рассматривать как слагаемые, содержащие степени \Delta x выше первой. В результате
    \Delta F(x)=f'_g(g(x))g'(x)\Delta x+\ldots\,, так что
    df(g(x))=f'_g(g(x))dg(x),\, F'(x)=f'_g(g(x))g'(x) .
    3.2. F(x)=f(x)g(x), если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы. Решение
    В силу дифференцируемости имеем представления
    \Delta f(x)=f'(x)\Delta x+\ldots,\, \Delta g(x)=g'(x)\Delta x+\ldots, где тремя точками обозначены слагаемые, содержащие  \Delta x в степенях от второй и выше.
    Рассмотрим приращение
    \Delta F(x)=f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x))=
    =(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x)g(x)=
    =f(x)\Delta g(x)+(\Delta f(x))g(x)+(\Delta f(x))(\Delta g(x))=
    =f(x)g'(x)\Delta x+f'(x)g(x)\Delta x+\ldots
    Тремя точками \ldots обозначены слагаемые, содержащие \Delta x в квадрате, кубе и т.д. Подчеркнем, что это, вообще говоря, другие слагаемые, нежели в выписанных выше формулах. В результате имеем
    d(f(x)g(x))=(df(x))g(x)+f(x)dg(x) ,
    (f(x)g(x))'=f'(x)g(x))+f(x)g'(x).
    3.3. f(x)=e^x и g(x)=\ln x . Решение
    По определению (e^x)'=e^x, так что de^x=e^x dx.
    Пусть y=e^x,\, x=\ln y. Имеем
    \Delta y=e^x \Delta x+\ldots\, ,\, \Delta x =\Delta y/e^x+\ldots=\frac{\Delta y}{y} +\ldots
    d\ln y=\frac{dy}{y},\, (\ln y)'=\frac{1}{y}.
    Переобозначая переменную, получаем окончательно
    d\ln x=\frac{dx}{x},\, (\ln x)'=\frac{1}{x}.
    1Вычислить дифференциал функции f(x), если g(x) – дифференцируемая функция:

    1.1. f(x)=g(x)^n. Решение
    Если g – независимая переменная, то df(x)=n[g(x)]^{n-1}dg(x). Поскольку dg(x)=g'(x)dx, то df(x)= n[g(x)]^{n-1}g'(x)dx. Отсюда - производная [g(x)^n]'= n[g(x)]^{n-1}g'(x). То же следует и по правилам дифференцирования сложной функции.
    1.2. f(x)=e^{g(x)}. Решение
    Если g – независимая переменная, то df(x)=e^{g(x)}dg(x). Поскольку dg(x)=g'(x)dx, то df(x)= e^{g(x)}g'(x)dx. Отсюда - производная [e^{g(x)}]'= e^{g(x)}g'(x). То же и по правилам дифференцирования сложной функции.
    1.3. f(x)=\sin(g(x)). Решение
    Если g – независимая переменная, то df(x)= \cos(g(x))dg(x). Поскольку dg(x)=g'(x)dx, то df(x)= \cos(g(x))g'(x)dx. По формуле дифференцирования сложной функции. f'(x)=\cos(g(x))g'(x). То же из определения дифференциала df(x)=f'(x)dx= \cos(g(x))g'(x)dx.
    1.4. f(x)=h((g(x)). Решение
    Если g – независимая переменная, то df(x)=\frac{dh}{dg}dg(x). Поскольку dg(x)=g'(x)dx, то df(x)=h'_g g'(x)dx.

    2Вычислить производную и дифференциал сложной функции f(x), если g(x) и h(x) – дифференцируемые функции:

    2.1. f(x)=[g(x)^n]e^{h(x)}. Решение
    По формуле Лейбница дифференцирования произведения и на основе предыдущих результатов: f'(x)=n[g(x)]^{n-1}g'(x)e^{h(x)}+ [g(x)^n]e^{h(x)}h'(x), df(x)=f'(x)dx.
    2.2. f(x)=\frac{h(x)}{g(x)}. Решение
    По формуле Лейбница дифференцирования произведения f(x)= h(x)\frac{1}{g(x)} и на основе предыдущих результатов имеем: f'(x)=h'(x) \frac{1}{g(x)} +h(x)(-1) [g(x)]^{-2}g'(x)=\frac{h'(x)g(x)-h(x)g'(x)}{g^2(x)}, df(x)=f'(x)dx. Это – один из выводов формулы дифференцирования дроби!
    2.3. f(x)=[h(x)]^{g(x)}, h(x)>0. Решение
    Среди правил нет правил дифференцирования подобных функций, но есть основное правило-определение экспоненты. Поэтому запишем функцию в виде f(x)=e^{\ln [h(x)]^{g(x)}}=e^{g(x)\ln h(x)}. По формуле дифференцирования сложной функции и правилу Лейбница. f'(x)= e^{g(x)\ln h(x)}[g'(x)\ln h(x)+g(x)\frac{h'(x)}{h(x)}, df(x)=f'(x)dx.

    3Вычислить производную функции f(x):

    3.1. f(x)=(x^2+5)^3. Решение
    По формуле дифференцирования сложной функции. f'(x)=3(x^2+5)^2 2x.
    3.2. f(x)=\ln(3x^2+5x+7). Решение
    По формуле дифференцирования сложной функции. f'(x)=\frac{3\cdot 2x +5}{3x^2+5x+7).
    3.3. f(x)=\tan x. Решение
    f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}. По формуле дифференцирования дроби: f'(x)=\frac{\cos^2x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2x}.
    3.4. f(x)=\sin^5[(3x^2+7x+11)^3]. Решение
    По формуле дифференцирования сложной функции :
    f'(x)=5[\sin^4[(3x^2+7x+11)^3]] [\cos (3x^2+7x+11)^3]\cdot
    \cdot 3[3x^2+7x+11)^2](3\cdot 2x +7).
    3.5. f(x)=(x^2)^{3x}, x\neq 0. Решение
    Представим иначе исходную функцию:
    f(x)=e^{\ln(x^2)^{3x}}=e^{6x\ln|x|}. Откуда по формуле дифференцирования сложной функции : f'(x)= e^{6x\ln|x|}(6\ln|x|+6)=(x^2)^{3x}(\ln (x^6)+6).
    1 Производные основных функций:

    1.1. (C)'=0,\, C=\mathrm{const}.
    1.2. (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}.
    1.3. (e^x)'= e^x .
    1.4. (\ln |x|)'= \frac{1}{x}.

    2 Основные правила дифференцирования:

    2.1. (Cf(x))'= Cf'(x)),\, C=\mathrm{const}.
    2.2. (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).
    2.3. Правило Лейбница:
    (f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+ f(x)\cdot g'(x).
    2.4. Правило дифференцирования сложной функции:
    (f(g(x)))'=f'_g\cdot g'(x).

    Первообразная функции f(x) – это функция F(x), такая, что F'(x)=f(x). Первообразных много, поскольку (F(x)+C)'=f(x) для любой постоянной C.
    Обозначение семейства первообразных функции f(x):
    \int f(x) dx. Т.е., если F(x) – некоторая первообразная, то
    \int f(x) dx=F(x)+C. При этом
    \int dF(x)=F(x)+C. Поэтому один из способом вычисления первообразных, который также используется для решения дифференциальных уравнений – это внесение под знак дифференциала функции f(x) в выражениях f(x)dx.
    Основные правилаПримерыИнтегрирование по частям
    1 Правила для приращений. Всюду - f(x) и g(x) – дифференцируемые функции; \approx означает справедливость приближенного равенства для малых приращений, т.е. в выражении для приращения отброшены высшие все степени приращений, кроме первой степени, а чем меньше приращение, тем точнее равенство. Если в подобных соотношениях писать вместо знака приближенного равенства знак точного равенства, то тогда надо предполагать, что равенство также содержит слагаемые более высоких степеней по приращению аргумента. Пример:
    \Delta f(x)\approx df(x), но \Delta f(x)= df(x)+\cdots.
    Последнее означает:
    \Delta f(x)=df(x)+f_2(x)(\Delta x)^2+ f_3(x)(\Delta x)^3+\cdots.

    1.1. C\Delta f(x)=\Delta (Cf(x)),\, C=\mathrm{const}.
    1.2. \Delta f(x)+ \Delta g(x)=\Delta (f(x)+g(x)).
    1.3. [f(x)]^{\alpha}\Delta f(x)\approx \Delta \frac {[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}, \alpha\neq -1.
    1.4. \frac{\Delta f(x)}{ f(x)}\approx \Delta \ln |f(x)|.
    1.5. e^{f(x)}\Delta f(x)\approx\Delta e^{f(x)}.

    2 Правила для дифференциалов (f(x) и g(x) – дифференцируемые функции).

    2.1. Cdf(x)=d(Cf(x)),\, C=\mathrm{const}.
    2.2. df(x)=d(f(x)+C),\, C=\mathrm{const}.
    2.3. df(x)+dg(x)=d(f(x)+g(x)).
    2.4. (df(x))g(x)+f(x)dg(x)=d(f(x)g(x)).
    2.5 [f(x)]^{\alpha}df(x)=d\frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}, \alpha\neq -1.
    2.6. \frac{df(x)}{f(x)}=d\ln|f(x)|.
    2.7. e^{f(x)}df(x)=de^{f(x)}.

    3 Некоторые частные случаи.

    3.1 x^{\alpha}\Delta x\approx\Delta\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}, \alpha\neq -1.
    3.2 x^{\alpha}dx=d\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}, \alpha\neq -1.
    3.3 (x+C)^{\alpha}\Delta x=(x+C)^{\alpha}\Delta (x+C) \approx\Delta\frac{(x+C)^{\alpha+1}}{\alpha+1}, \alpha\neq -1.
    3.4. \frac{dx}{x}=d\ln|x|.

    4 Некоторые часто встречающиеся случаи.

    4.1. \sin x dx=-d\cos x.
    4.2. \cos x dx=d\sin x.
    4.3. \frac{dx}{\cos^2x}=d\tan x.
    4.4. \frac{dx}{\cos^2x}=d\tan x.
    1Найти одну из первообразных функции f(x), внеся в выражении f(x)dx все под знак дифференциала:

    1.1. f(x)=\frac{1}{x^2+1}. Решение
    Представим x через тангенс как x=\tan u. Тогда dx=\frac{1}{\cos^2u}du. Поскольку \frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{\tan^2u+1}=\cos^2u, то f(x)dx=\frac{dx}{x^2+1}=\frac{1}{\cos^2u}\cos^2u du=du=d\arctan x.
    Т.е первообразные даются формулой
    \int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C.
    Проделайте то же для представления переменной через котангенс x=\cot w.
    1.2. f(x)=\frac{1}{1-x^2}. Решение
    Представим \frac{1}{1-x^2} как \frac{1}{1-x^2}=-\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}) , так что.
    \frac{dx}{1-x^2}=-\frac{1}{2}(d\ln|x-1|-d\ln|x+1|)=\frac{1}{2}d\ln|\frac{x+1}{x-1}|.
    Т.е первообразные даются формулой
    \int\frac{dx}{1-x^2}=\frac{1}{2}\ln|\frac{x+1}{x-1}|+C.
    1.3. f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Решение
    Для -1\leq x \leq 1 представим x через синус как x=\sin u. Считаем, что -\pi/2\leq u\leq \pi/2. Тогда -1\leq x \leq 1. Имеем dx=\cos u du,
    \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^2u}}=\frac{1}{\cos u}. Таким образом,
    \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=du=d\arcsin x,
    \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \arcsin x+C.
    Проделайте то же для представления переменной через косинус x=\cos w.

    2Внести под знак дифференциала:

    2.1. xd\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. Решение
    Сначала надо преобразовать дифференциал и только потом вносить получившееся выражение перед dx под знак дифференциала:
    xd\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=x\frac{\sqrt{1-x^2}+x\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}dx=\\ \frac{xdx}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{2}\frac{d(-x^2)}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}=d\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
    Такое преобразование встречается при выводе выражения для энергии в релятивистской механике.

    3Вычислить интегралы, используя внесение подынтегральной функции под знак дифференциала:

    3.1. \int\limits_0^1\frac{dx}{x^2+1}. Решение
    Используя предыдущие результаты по нахождению первообразных имеем:
    \int\limits_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\int\limits_0^1d\arctan x= \arctan 1- \arctan 0=\pi/4.
    3.2. \int\limits_0^1(x+2)^2dx. Решение
    Используя предыдущие результаты по нахождению первообразных имеем:
    \int\limits_0^1(x+2)^2dx=\int\limits_0^1(x+2)^2d(x+2)=\\ \int\limits_0^1\frac{d(x+2)^3}{3}= \frac{(1+2)^3}{3}-\frac{(0+2)^3}{3}=\frac{19}{3}.
    1 Внести все под знак дифференциала:

    1.1. xd\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. Решение
    Используя формулу Лейбница:
    xd\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=d(x\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx.
    Здесь одно слагаемое уже представлено дифференциалом. Для другого слагаемого имеем:
    -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{1}{2}\frac{d(-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=d\sqrt{1-x^2},
    так что
    xd\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=d(x\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\sqrt{1-x^2})= d\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
    Такое преобразование встречается при выводе выражения для энергии в релятивистской механике. Найдите также другой способ решения этой задачи!

    Базовые уравнения
    и их решения
    Сведение уравнений
    к базовым
    Типичные
    примеры
    1 Если при x\in (a,c) для некоторых a и c и выполнено:

    или \Delta f(x)\approx 0 для малых \Delta x
    или df(x)=0,
    или f'(x)=0,
    то для x\in (a,c) имеем решение:
    f(x)=\mathrm{const}.
    Элементарное доказательство

    Разобъем интервал [b,x]\subset(a,c) точками
    x_0=b,x_1,\cdots,x_n,\cdots,x_{N-1},x_N=x
    на N подинтервалов, таких, что
    \Delta x_n\equiv x_n-x_{n-1},\,n=1,\cdots,N являются малыми приращениями и для них выполнено условие
    \Delta f(x_n)\equiv=f(x_n)-f(x_{n-1})\approx 0.
    Тогда сумма последовательных приращений
    \sum\limits_1^N\equiv\Delta f(x_1)+\Delta f(x_2)+\cdots+\Delta f(x_{N-1}) +\Delta f(x_N)=\\=(f(x_1)-f(x_0))+(f(x_2)-f(x_1))+\cdots\\+(f(x_{N-1})-f(x_{N-2})+(f(x_{N})-f(x_{N-2})=\\=f(x_N)-f(x_0)\approx0.
    Т.е. f(x)\approx f(b)=\mathrm{const}.
    Отличие пропорционально сумме слагаемых, пропорциональных (\Delta x)^2. Величина таких слагаемых порядка (\frac{c-a}{N})^2. Их число N. Так что отличие стремится к нулю с ростом N.

    2 Если при x\in (a,c) для некоторых a и c и выполнено:

    или \Delta f(x)\approx \Delta g(x) для малых \Delta x
    или df(x)=dg(x),
    или f'(x)=g'(x),
    то для x\in (a,c) имеем решение:
    f(x)=g(x)+\mathrm{const}.

    Величина, обозначенная как \mathrm{const}, в пунктах 1 и 2 разная ! Она находится из начальных условий задачи !

    1 Решить уравнение x''(t)=a
    с начальными условиями x(0)=x_0,\,x'(0)=v_0. Здесь a,\,x_0,\,v_0 – постоянные величины.
    Решение

    Перепишем уравнение в виде равенства дифференциалов:
    dv(t)=adt,\,v(t)=x'(t) и сведем его базовому:
    dv(t)=d(at). Отсюда v(t)=at+\mathrm{const}.
    Константа не зависит от времени t. Подставляя значения при t=0:
    v(0)=a\cdot 0+\mathrm{const}. Отсюда \mathrm{const}=v_0.
    Теперь запишем в дифференциалах уравнение v(t)=x'(t)=at+v_0:
    dx(t)=(at+v_0)dt\Rightarrow dx(t)=d(\frac{at^2}{2}+v_0 t). Отсюда
    x(t)=\frac{at^2}{2}+v_0 t+\mathrm{const}. Здесь другая постоянная, которая из начальных условий находится равной x_0. Итак,
    x(t)=\frac{at^2}{2}+v_0 t+x_0.
    Получились формулы для равноускоренного движения !

    2 Решить уравнение x''(t)+\omega_0^2x(t)=0
    с начальными условиями x(0)=x_0,\,x'(0)=v_0. Здесь \omega_0,\,x_0,\,v_0 – постоянные величины.
    Решение путем сведения к базовым уравнениям

    Введем v(t)=x'(t) и умножим на эту величину исходное уравнение, а результат запишем в дифференциалах:
    v(t)dv(t)+\omega_0^2x(t)v(t)dt=0. Но v(t)dt=dx(t), так что d\frac{v^2(t)}{2}+d\frac{\omega_0^2x^2(t)}{2}=0.
    Отсюда v^2(t)+\omega_0^2x^2(t)=\mathrm{const}\equiv E. Находим, что
    v(t)=\pm\sqrt{E-\omega_0^2x^2(t)}. Ограничиваясь определенной областью изменения t, характеризуемой определенным знаком, например плюсом, снова записываем уравнение в дифференциалах:
    dx(t)=\sqrt{E-\omega_0^2x^2(t)}dt\Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{E-\omega_0^2x^2(t)}}=dt.
    С учетом полученных ранее результатов введем новую переменную по формуле
    x(t)=\frac{\sqrt{E}}{\omega_0}\sin u(t). Тогда \frac{du(t)}{\omega_0}=dt, откуда u(t)=\omega_0t+\mathrm{const}, x(t)= \frac{\sqrt{E}}{\omega_0}\sin(\omega_0t+\mathrm{const}).
    Вместо нахождения константы из этой формулы, лучше переписать решение как
    x(t)=A\sin\omega_0t+B\cos\omega_0t,
    x'(t)=A\omega_0\cos\omega_0t-B\omega_0\sin\omega_0t,
    откуда новые константы A и B легко находятся как
    A=x_0,\,B=-\frac{v_0}{\omega_0}.

    1Найти площадь кругового сектора радиуса R с углом \alpha.
    Составьте последовательность действий по решению задачи
    1. Параметр и зависимая от него переменная
    2. Приращение переменной, ее геометрический образ и уравнение в приращениях
    3. Решение уравнения в приращениях

    Читать далее Задачи на приращения, дифференциал и производные

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник
Любой треугольник всегда можно представить как «сумму» или «разность» двух прямоугольных треугольников – достаточно провести высоту. Поэтому многие свойства произвольных треугольников и многоугольников следуют из свойств прямоугольного треугольника и высот произвольного треугольника.
Читать далее Прямоугольный треугольник

Основные системы подмножеств

© Башаров А.М. 2015

Случай конечного числа элементов множества E

В случае конечного числа N элементов множества E число его подмножеств, т.е. число элементов 2^E, равно

\sum\limits_{M=0}^{N}C_N^M=(1+1)^N=2^N.

Поэтому обозначение 2^E для семейства всех подмножеств множества E довольно естественно. Здесь C_N^M - число сочетаний из N элементов по M.

Сепарабельное пространство

Содержит не более чем счетное всюду плотное множество.
Топологическое пространство, обладающее счетной базой.

Полное метрическое пространство

Метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел.

Cистемы, порожденные семействами подмножеств

Множество всех подмножеств 2^E заданного множества E является и кольцом и сигма-алгеброй. Очевидно, что если есть семейства подмножеств \{\mathscr{E}_{\alpha}\}, являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств \bigcap\limits_{\alpha}\mathscr{E}_{\alpha} также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Таким образом, для любого заданного семейства \mathscr{E} подмножеств множества E существует минимальная структура, например сигма-алгебра (или кольцо или др.), содержащее данное семейство подмножеств \mathscr{E}. Для сигма-алгебры это \sigma(\mathscr{E})=\bigcap\limits_{\alpha}\mathscr{E}_{\alpha}, где \mathscr{E}_{\alpha} - сигма-алгебра, такая, что \mathscr{E}\subset \mathscr{E}_{\alpha}

Основные системы подмножеств

Исследуемые модели могут быть построены на различных множествах (графах, абстрактных пространствах). Для их анализа нужны не только исходное абстрактное пространство, но и всевозможные его подмножества. Они дают математический образ различных состояний модели.

Операции над элементами системы подмножеств должны приводить к элементам из той же системы подмножеств, чтобы иметь возможность оперированием понятия возмущения и изменения системы и изучать отклик системы на это возмущение или изменение, т.е. придерживаться стандартной схемы исследования. Элементы исходного пространства естественно называть элементарными состояниями, а его подмножества – просто состояниями.
Посмотрим, какие системы множеств есть в нашем распоряжении.

E - заданное множество (пространство элементарных событий). Множество всех его подмножеств обозначаем через 2^E. Используются следующие системы подмножеств:

Полукольцо и полуалгебра
Кольцо и алгебра
Сигма-кольцо и сигма-алгебра
Монотонный класс
Пи- и ламбда- системы
Операции с элементами семейств множеств с точки зрения алгебры
Несмотря на то, что в указанных выше определениях фигурируют объединение, пересечение, разность множеств, пересечение – есть аналог произведения с нейтральным элементом в виде заданного множества E, а в качестве сложения выступает симметрическая разность
A\bigtriangleup B=(A\backslash B)\bigcup (B\backslash A)=(A\bigcup B)\backslash(A\bigcap B)
с нейтральным элементом \varnothing. Посредством симметрической разности имеем очевидные представления:
A\bigcup B=(A\bigtriangleup B)\bigtriangleup (A\bigcap B),
A\backslash B=A\bigtriangleup (A\bigcap B).
Операция взятия симметричной разности и ее обратная операция совпадают и
 A\bigtriangleup A=\varnothing.
Операция объединения множеств обратной операции не имеет!
Структуры, порожденные заданным семейством множеств
Множество всех подмножеств 2^E заданного множества E является и кольцом и сигма-алгеброй. Правомерна постановка вопроса и наименьшем кольце, сигма-алгебре и т.п., содержащих заданное семейство \mathscr{E} помножеств E. Очевидно, что если есть семейства подмножеств \{\mathscr{E}_{\alpha}\}, являющихся кольцами (или сигма-алгеброй и т.п.), то пересечение этих семейств \bigcap\limits_{\alpha}\mathscr{E}_{\alpha} также будет кольцом (сигма-алгеброй и т.п.). Поэтому интересны:
Минимальные структуры, содержащие заданную систему множеств
Борелевские множества
В одном из интересных для нас случаев, множество E представляет всю действительную прямую R=(-\infty,\infty). Тогда в качестве системы подмножеств интересны множества всех открытых интервалов, всех замкнутых интервалов, всех полуоткрытых интервалов. Однако отдельно открытые или замкнутые интервалы не образуют \sigma-алгебру, поскольку имеем очевидные соотношения
(a,b)=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}(a,b-\frac{1}{n}], a<b, [a,b]=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},b], a<b, \{a\}=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},a]. Можно, однако, рассмотреть наименьшую \sigma-алгебру, содержащую систему открытых интервалов (или замкнутых интервалов). Эта сигма-алгебра называется борелевской алгеброй \mathscr{B}(R) множеств числовой прямой, а ее множества - борелевскими множествами. Борелевская алгебра наряду с интервалами вида (a,b] входят одноточечные множества \{a\}, а также любое из множеств [a,b], [a,b), (a,b), (-\infty,b], (-\infty,b), (a,\infty), [a,\infty). Аналогично строится борелевская алгебра \mathscr{B}(R^N), причем оказывается, что \mathscr{B}(R^N)=\mathscr{B}(R)\otimes\mathscr{B}(R)\otimes\cdots\otimes\mathscr{B}(R), где в правой части записана наименьшая сигма-алгебра, содержащая все N-мерные прямоугольники B=B_1\times B_2\times\cdots\times B_N с борелевскими сторонами B_i\in\mathscr{B}(R), i=1,\cdots\,N.
Польские пространства

О рассуждениях
физика и математика
при решении задач

Физический и математический способы решения задач

Примеры физических и математических рассуждений при решении задач. Предельные и частные случаи. Свойства симметрии. Особенность векторной величины.


Читать далее О рассуждениях
физика и математика
при решении задач

Аксиоматический метод. Системы и наборы чисел

Аксиоматический метод. Системы и наборы чисел
О связи логики работы с аксиомами числового поля и логики применения законов Ньютона к одной материальной точке и к системам материальных точек. Кратко рассказано о комплексных, двойных, дуальных, гиперкомплексных числах и векторах.

Аксиоматический метод в контексте единого подхода к построению и анализу простейших теорий, новых объектов и т.п.

Аксиоматический метод
в решении задач

Аксиоматический метод

Первая лекция цикла занятий на темы «Как доказываем теоремы», «Решаем уравнения» и «Исследуем мир». Главная задача показать как работает аксиоматический метод в решении задач. Обсуждаю стандартные темы – теория множеств, аксиоматика числового поля, аксиоматика Пеано в контексте доказательства теорем, решения уравнений и т.п.


Читать далее Аксиоматический метод
в решении задач