Задачи предлагались на олимпиадах МИФИ 2005-2016 годов.
Архив рубрики: Физика
Курчатовская олимпиада МИФИ 2007. Физика
11 класс
Математический маятник
Прежде чем смотреть видео, попытайтесь самостоятельно
1. вывести уравнение движения математического маятника;
2. Решить задачи
Два способа решения задачи на механику
заряженного тела
Эту задачу удобно считать базовой по понятиям энергии магнитного поля и работы вихревого электрического поля.
Условие задачи
Длинный тонкостенный диэлектрический цилиндр массой M, радиуса R и длины l расположен горизонтально и может вращаться без трения вокруг своей оси. Цилиндр заряжен зарядом Q. На цилиндр намотана нить, ко второму концу которой привязан
груз массой m. Груз отпускают. С учетом явления самоиндукции найти ускорение груза.
Читать далее Два способа решения задачи на механику
заряженного тела
Введение в теорию стохастических дифференциальных уравнений
Три задачи
на уравнения связи
и способы решения
МЕХАНИКА =
УРАВНЕНИЯ СВЯЗИ +
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ
Читать далее Три задачи
на уравнения связи
и способы решения
Сила Архимеда
Если , то сила Архимеда направлена вертикально вверх, если - сила Архимеда направлена вертикально вниз. Здесь - высота уровня жидкости над дном: . Полагаем, что жидкость полностью накрывает основание конуса. Противоположный случай нуждается в отдельном рассмотрении ! [/su_spoiler]
Если ответ не совпал, проверьте свою последовательность действий. Сначала сформулируйте свой план, затем сравните его с предлагаемыми указаниями. Прежде чем смотреть результаты действий по указаниям, выполните указания самостоятельно.
2. Вспомните свойства и способы вычисления силы Архимеда
3. Для каждого способа составьте план решения задачи
Укажите математическую особенность силы Архимеда
Дайте ответ на вопрос: «Какие силы давления включаются в силу Архимеда?»
Дайте ответ на вопрос: «Как направлена сила давления жидкости или газа?»
Перечислите различные способы вычисления силы Архимеда и вспомните характерные случаи.
1. Вычислить силу Архимеда «в лоб» как сумму сил давления.
2. Подумайте над другим способом решения!
Искомая сила Архимеда есть сумма двух слагаемых .
1. Первое слагаемое - обычная сила Архимеда для конуса, в котором вырезан цилиндр радиуса r:
Высота цилиндра находится из подобия треугольников с высотами и :
.
Объем такого урезанного конуса , а сила Архимеда, действующая на него направлена вертикально вверх и равна:
.
2. Второе слагаемое - вес слоя жидкости, который располагается над основанием вырезаемого цилиндра на уровне основания конуса:
.
Силу берем со знаком минус, который отражает ее направление - как вес слоя жидкости, эта сила направлена вертикально вниз. Здесь - высота уровня жидкости над дном:
.
Полагаем, что . Противоположный случай нуждается в отдельном рассмотрении !
В результате получаем ответ:
.
Если , то сила Архимеда направлена вертикально вверх, если - сила Архимеда направлена вертикально вниз. [/su_spoiler]
Если следовать определению силы Архимеда, то силы давления, в общем-то, просто считаются.
Реактивное движение
Если ответ не совпал, проверьте свою последовательность действий. Сначала сформулируйте свой план, затем сравните его с предлагаемыми указаниями. Прежде чем смотреть результаты действий по указаниям, выполните указания самостоятельно.
2. Рассмотрите малые приращения параметров в произвольный момент времени
3. Сформулируйте уравнения модели и начальные условия
4. Решите полученные уравнения
5. Проанализируйте решение
6. Обобщите модель
Вдоль оси \(X\) движется ракета. В момент времени \(t\) её координата - \(x(t)\), масса - \(M(t)\), проекция скорости на ось \(X\) - \(V(t)\). В единицу времени ракета отбрасывает в противоположном направлении оси \(X\) массу газов \(\nu\). Проекция скорости этих газов на ось \(X\) равна \(-u+V(t)\), поскольку \(-u\) есть проекция скорости этих газов на ось \(X\) в системе покоя ракеты.
Исследуемой системой здесь является ракета и отбрасываемые продукты сгорания топлива. Поскольку на ракету с топливом (сокращение для "отбрасываемых продуктов сгорания топлива") не действуют никакие внешние силы, то должен выполняться закон сохранения импульса, в частности проекции импульса на ось \(X\). Это значит, что приращение импульса системы на ось \(X\) должно равняться нулю.
Дальше следует корректно записать приращение импульса системы.
Приращение импульса системы за время \(\Delta t\) складывается из приращения импульса ракеты и импульса вновь образовавшихся продуктов сгорания топлива. За время \(\Delta t\) сгорает \(\Delta m\) топлива, продукты сгорания которого истекают относительно ракеты со скоростью \(u\). Здесь изменением скорости ракеты за время \(\Delta t\) в импульсе продуктов сгорания можно пренебречь, т.к. это вносит вклад в приращение импульса второго порядка по \(\Delta t\). В результате
\(\Delta(M(t)V(t))+(\Delta m)v_x=0\),
\(v_x=-u+V(t) \) – проекция скорости отбрасываемых продуктов сгорания на ось \(X\),
\(\Delta m\) – масса отбрасываемых продуктов сгорания за время \(\Delta t\). По определению величины \(\nu :\,\Delta m=\nu \Delta t\).
Преобразуем уравнение
\(\Delta(M(t)V(t))+(\Delta m)v_x=0\).
По правилу Лейбница для малых приращений
\(\Delta(M(t)V(t))=(\Delta(M(t))V(t)+M(t)\Delta V(t)\).
Поскольку \(\Delta M(t)=-\Delta m, \, \Delta m=\nu \Delta t\),
\(M(t)=M_0-\nu t\) и \(v_x=-u+V(t) \), то
\(-\Delta(m(t))V(t)+M(t)\Delta V(t)+(\Delta m)(-u+V(t))=0\).
Окончательно, получаем уравнение реактивного движения
\(M(t)\Delta V(t)=u\nu\Delta t,\, M(t)=M_0-\nu t\).
Начальным условием к нему служит равенство:
\(V(0)=0\).
Переписываем уравнение в виде:
\(\frac{\Delta V(t)}{u}=-\frac{\Delta(-\nu t)}{M_0-\nu t}=-\frac{\Delta(M_0-\nu t)}{M_0-\nu t}=-\Delta\ln(M_0-\nu t) \).
В результате
\(\frac{V(t)}{u}=-\Delta\ln(M_0-\nu t)+const\).
Из начальных условий при \(t=0\) следует
\(0=-\Delta M_0+const\), так что окончательно
\(V(t)=u\ln\frac{M_0}{M_0-\nu t} \).
Поскольку эта функция – возрастающая функция \(t\), то максимальная значение скорость ракеты такая:
\(V_{max}=u\ln\frac{M_0}{M_0-m}\).
Если изменение массы ракеты мало \(m\ll M_0\), то
\(\ln\frac{M_0}{M_0-m}\approx\frac{m}{M_0}\), так что
\(V_{max}\approx u\frac{m}{M_0}\).
Это - стандартный закон сохранения импульса в случае, когда покоящаяся масса \(M_0+m\) «взрывается» и мгновенно разлетается на массу \(m\), которая летит со скоростью \(u\) противоположно массе \(M_0\), получившей скорость \(V_{max}\).
\(M_0V_{max}=mu\). При этом скорость \(u\) есть именно скорость относительно начальной скорости покоящейся массы \(M_0+m\).
\(M(t)\frac{\Delta\overrightarrow{V(t)}}{\Delta t}=\overrightarrow{F_{rf}}\),
где введена реактивная сила
\(\overrightarrow{F_{rf}}=-\overrightarrow{u}\nu\).
Если дополнительно учесть силу тяжести, то
\(M(t)\frac{\Delta\overrightarrow{V(t)}}{\Delta t}=\overrightarrow{F_{rf}}+M(t)\overrightarrow{g}\).
Это уравнение называют уравнением Мещерского.
1.33-3.40; 10.07-12.30; 36.30-38.10;55.40-58.40
Про движение ракеты и реактивную тягу (минуты)
24.00-41.00
Решение задач на электростатику и электрический ток
Сформулированы основные положения электростатики в виде, в котором их удобно использовать для решения задач на эту тему. Рассмотрены решения некоторых задач, в том числе основные идеи решения олимпиадных задач на расчет сопротивлений электрических схем.
Читать далее Решение задач на электростатику и электрический ток
Сила упругости и гармонические колебания
Уравнение гармонических колебаний и его решение:
,
,
.
Для силы упругости: .
2. Решение уравнения гармонических колебаний: 14-36 мин.;
3. Уравнение гармонических колебаний и его решение для колебаний вертикально расположенной пружинки с грузом в поле тяжести. Частота колебаний в случае пружинки, полученной из исходной ее разрезанием пополам: 36-48 мин.;
4. Почему гармонические колебания играют важную роль и встречаются в различных областях физики, техники и других наук. Вывод частоты колебаний из энергии системы: 48-62 мин.;
5. Разные задачи с пружинкой: 1 час-1 час 45 мин.;
6. Задача на определение частоты гармонических колебаний системы грузов, соединенных невесомой штангой с точкой подвеса в поле тяжести: 1 час 45 мин до конца