Математика и физика с Асхатом Башаровым

Курчатовская олимпиада МИФИ 2007. Физика

19.01.2016 askhat

Задачи по физике Курчатовской олимпиады МИФИ 2007 г.
11 класс

Вариант 1 физического тура. 11 класс

Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4Задача 5

Тело массы m, движущееся со скоростью V по горизонтальной поверхности, налетает на пружину с жесткостью k, второй конец которой закреплен. На какую величину сожмется пружина к тому моменту времени, когда скорость тела станет равна V /З ? Трение отсутствует.

Курчатовская олимпиада МИФИ

Ответ

$x=\frac{2V}{3}\sqrt{\frac{2m}{k}}$

Решение

Плавая в жидкости, кубическое тело погружается на глубину

$h_1$ , а в другой жидкости - на глубину

$h_2$ . Какова будет глубина погружения тела в жидкости, плотность которой равна

$(\rho_1+\rho_2)/2$ , где

$\rho_1$ и

$\rho_2$ - плотности первой и второй жидкости?

Ответ

$h=\frac{2h_1h_2}{h_1+h_2}$

Решение

Два маленьких шарика связаны непроводящей пружиной. Если шарики зарядить одинаковыми зарядами q, то длина пружины будет равна

$l_1$ , а если зарядами 2q , то длина пружины будет равна

$l_2$ . Найти коэффициент жесткости пружины.

Решение

В горизонтальном цилиндрическом сосуде длиной l находятся n подвижных теплонепроницаемых поршней, делящих сосуд на п+1 отсек. Первоначально температура газа во всех отсеках была равна

$T_0$ , объемы всех отсеков одинаковы. Затем газ в самом левом отсеке нагревают до температуры

$T_1$ , а температуру газа в других отсеках поддерживают равной

$T_0$ . На сколько сместится при этом самый правый поршень?

Курчатовская олимпиада МИФИ

Решение

На поверхности стола расположен вертикальный цилиндр радиуса R, на который намотана длинная невесомая нерастяжимая нить. К концу свободного куска нити, длина которого равна

$l_0$ , привязано тело. Телу сообщают скорость V, направленную перпендикулярно нити так, что нить начинает разматываться с цилиндра (см. рисунок, вид сверху). Найти время, за которое длина свободного куска нити увеличится вдвое. Трение отсутствует.

Курчатовская олимпиада МИФИ

Решение

Математический маятник

15.01.2016 askhat

Различные способы вывода уравнений, описывающих колебания математического маятника. Два способа решения уравнения гармонических колебаний. Стандартное усложнение задач на гармонические колебания. Математический маятник на тележке, скатывающейся по наклонной плоскости. Тележка в туннеле, прорытым в толще планеты. Математический маятник на тележке, движущейся в туннеле. Физический маятник

Прежде чем смотреть видео, попытайтесь самостоятельно
1. вывести уравнение движения математического маятника;
2. Решить задачи

Задача 1Задача 2Задача 3

Математический маятник и ограничивающее его движение плоскость

Математический маятник в тележке на наклонной плоскости

Математический маятник на тележке, движущейся в туннеле

Два способа решения задачи на механику
заряженного тела

13.01.2016 askhat

Задача с Савельевской олимпиады МИФИ 2015 г.
Эту задачу удобно считать базовой по понятиям энергии магнитного поля и работы вихревого электрического поля.

Условие задачи

Длинный тонкостенный диэлектрический цилиндр массой M, радиуса R и длины l расположен горизонтально и может вращаться без трения вокруг своей оси. Цилиндр заряжен зарядом Q. На цилиндр намотана нить, ко второму концу которой привязан
груз массой m. Груз отпускают. С учетом явления самоиндукции найти ускорение груза.

Три задачи
на уравнения связи
и способы решения

11.09.2015 askhat

МЕХАНИКА =
УРАВНЕНИЯ СВЯЗИ +
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ

Сила Архимеда

04.05.2015 askhat

В дне сосуда цилиндрической формы с радиусом основания R имеется круглое отверстие радиуса r, центр которого совпадает с центром основания цилиндра. В отверстие вставлен тяжелый конус высоты H и диаметром основания D, плотно прилегающий к краям отверстия основания сосуда. При этом ось симметрии конуса совпадает с осью симметрии сосуда. В сосуд заливают жидкость массы M и плотностью

$\rho$ . Определить силу Архимеда, действующую на конус.

>Указания123КомментарииВидео

Ответ

$F=\pi\rho g(\frac{HD^2}{12}(1-\frac{8r^3}{D^3})-r^2h)$ .
Если

$F>0$ , то сила Архимеда направлена вертикально вверх, если

$F<0$ - сила Архимеда направлена вертикально вниз. Здесь

$h$ - высота уровня жидкости над дном:

$h=\frac{M}{\rho\pi R^2}+\frac{D^2H}{12R^2}(1-\frac{8r^3}{D^3})$ . Полагаем, что жидкость полностью накрывает основание конуса. Противоположный случай нуждается в отдельном рассмотрении ! [/su_spoiler]

Если ответ не совпал, проверьте свою последовательность действий. Сначала сформулируйте свой план, затем сравните его с предлагаемыми указаниями. Прежде чем смотреть результаты действий по указаниям, выполните указания самостоятельно.

1. Дайте определение силы Архимеда
2. Вспомните свойства и способы вычисления силы Архимеда
3. Для каждого способа составьте план решения задачи

Определение силы Архимеда

Определение силы Архимеда

Укажите математическую особенность силы Архимеда

Особенность силы

Дайте ответ на вопрос: «Какие силы давления включаются в силу Архимеда?»

Ответ

Свойства и способы вычисления силы Архимеда
Дайте ответ на вопрос: «Как направлена сила давления жидкости или газа?»

Ответ

Укажите, чему равна величина силы давления.

Ответ

Сила давления

$\overrightarrow{F}$ жидкости или газа на маленькую плоскую площадку равна произведению давления

$p$ на площадь

$S$ площадки и направлена перпендикулярно поверхности площадки

$\overrightarrow{F}=pS\overrightarrow{n}$ . Здесь

$\overrightarrow{n}$ – единичный вектор, перпендикулярный площадке.

Важно! Площадка должна быть такой (обычно маленькой), что давление жидкости или газа в точках площадки примерно постоянно (одно и тоже). Такую площадку всегда можно выбрать, уменьшая размеры площадки.

Удобно ввести вектор площадки $\overrightarrow{S}$ как $\overrightarrow{S}=S\overrightarrow{n}$ .

Тогда сила давления $\overrightarrow{F}$ записывается как $\overrightarrow{F}=p\overrightarrow{S}$

Перечислите различные способы вычисления силы Архимеда и вспомните характерные случаи.

Способы вычисления силы

Характерные случаи силы Архимеда

Пути решения
1. Вычислить силу Архимеда «в лоб» как сумму сил давления.

Учитываемые силы давления

2. Подумайте над другим способом решения!

Другой путь

Представление искомой силы Архимеда

Вычисление искомой силы Архимеда

Искомая сила Архимеда есть сумма двух слагаемых

$F=F_1+F_2$ .
1. Первое слагаемое

$F_1$ - обычная сила Архимеда для конуса, в котором вырезан цилиндр радиуса r:
Высота цилиндра

$\ell$ находится из подобия треугольников с высотами

$H-\ell$ и

$H$ :

$\ell=H(1-\frac{2r}{D})$ .
Объем такого урезанного конуса

$V_{cut}=\frac{\pi H D^2}{12}(1+\frac{16r^3}{D^3}-\frac{12r^2}{D^2})$ , а сила Архимеда, действующая на него направлена вертикально вверх и равна:

$F_1=\rho V_{cut}g$ .
2. Второе слагаемое - вес слоя жидкости, который располагается над основанием вырезаемого цилиндра на уровне основания конуса:

$F_2=-\rho \pi r^2g(h-H+\frac{2rH}{D})$ .
Силу берем со знаком минус, который отражает ее направление - как вес слоя жидкости, эта сила направлена вертикально вниз. Здесь

$h$ - высота уровня жидкости над дном:

$h=\frac{M}{\rho\pi R^2}+\frac{D^2H}{12R^2}(1-\frac{8r^3}{D^3})$ .
Полагаем, что

$h\geq\ell$ . Противоположный случай нуждается в отдельном рассмотрении !
В результате получаем ответ:

$F=\pi\rho g(\frac{HD^2}{12}(1-\frac{8r^3}{D^3})-r^2h)$ .
Если

$F>0$ , то сила Архимеда направлена вертикально вверх, если

$F<0$ - сила Архимеда направлена вертикально вниз. [/su_spoiler]

Данная задача интересна именно представлением силы Архимеда через вес слоя жидкости и силу Архимеда видоизмененного объекта:
Сила Архимеда

Если следовать определению силы Архимеда, то силы давления, в общем-то, просто считаются.

Решение задачи на 63.30-87.41 минутах видео:

Содержание видео

Реактивное движение

26.04.2015 askhat

Найдите максимальную скорость движения ракеты в космическом пространстве, если в единицу времени из сопла ракеты истекает $\nu$ единиц массы газов с постоянной скоростью $u$ относительно ракеты. Начальная масса ракеты $M_0$, начальная скорость - нулевая. Внешними воздействиями пренебрегать. Запас топлива - $m$.

>Указания12345КомментарииВидео

Ответ

1. Сформулируйте задачу своими словами и введите параметры
2. Рассмотрите малые приращения параметров в произвольный момент времени
3. Сформулируйте уравнения модели и начальные условия
4. Решите полученные уравнения
5. Проанализируйте решение
6. Обобщите модель

Формулировка задачи своими словами (вариант)
Вдоль оси $X$ движется ракета. В момент времени $t$ её координата - $x(t)$, масса - $M(t)$, проекция скорости на ось $X$ - $V(t)$. В единицу времени ракета отбрасывает в противоположном направлении оси $X$ массу газов $\nu$. Проекция скорости этих газов на ось $X$ равна $-u+V(t)$, поскольку $-u$ есть проекция скорости этих газов на ось $X$ в системе покоя ракеты.
Исследуемой системой здесь является ракета и отбрасываемые продукты сгорания топлива. Поскольку на ракету с топливом (сокращение для "отбрасываемых продуктов сгорания топлива") не действуют никакие внешние силы, то должен выполняться закон сохранения импульса, в частности проекции импульса на ось $X$. Это значит, что приращение импульса системы на ось $X$ должно равняться нулю.
Дальше следует корректно записать приращение импульса системы.

Приращение импульса системы
Приращение импульса системы за время $\Delta t$ складывается из приращения импульса ракеты и импульса вновь образовавшихся продуктов сгорания топлива. За время $\Delta t$ сгорает $\Delta m$ топлива, продукты сгорания которого истекают относительно ракеты со скоростью $u$. Здесь изменением скорости ракеты за время $\Delta t$ в импульсе продуктов сгорания можно пренебречь, т.к. это вносит вклад в приращение импульса второго порядка по $\Delta t$. В результате
$\Delta(M(t)V(t))+(\Delta m)v_x=0$,
$v_x=-u+V(t) $ – проекция скорости отбрасываемых продуктов сгорания на ось $X$,
$\Delta m$ – масса отбрасываемых продуктов сгорания за время $\Delta t$. По определению величины $\nu :\,\Delta m=\nu \Delta t$.

Уравнения и начальные условия
Преобразуем уравнение
$\Delta(M(t)V(t))+(\Delta m)v_x=0$.

По правилу Лейбница для малых приращений
$\Delta(M(t)V(t))=(\Delta(M(t))V(t)+M(t)\Delta V(t)$.

Поскольку $\Delta M(t)=-\Delta m, \, \Delta m=\nu \Delta t$,
$M(t)=M_0-\nu t$ и $v_x=-u+V(t) $, то
$-\Delta(m(t))V(t)+M(t)\Delta V(t)+(\Delta m)(-u+V(t))=0$.

Окончательно, получаем уравнение реактивного движения
$M(t)\Delta V(t)=u\nu\Delta t,\, M(t)=M_0-\nu t$.
Начальным условием к нему служит равенство:
$V(0)=0$.

Решение уравнения реактивного движения

Стандартная идея решения дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения (уравнения в приращениях) сводим к базовому уравнению в приращениях вида

$\Delta F(t)=\Delta G(t)\,\Leftrightarrow F(t)=G(t)+const$ .
Для этого используем стандартные правила:
для произвольных приращений «хороших» функций

$\Delta f(x)+\Delta g(x)=\Delta (f(x)+g(x))$ ,

$C\Delta f(x)=\Delta(Cf(x)),\,C=const$ ;
для малых приращений аргументов «хороших» функций

$x^n\Delta x=\Delta\frac{x^{n+1}}{n+1},\,n\neq -1$ ;

$\frac{\Delta x}{x}=\Delta \ln |x|,\,e^x\Delta x=\Delta e^x$ .
Подчеркнем, что и в исходном уравнении, и в базовом уравнении рассматриваются малые приращения, когда справедливо равенство

$\Delta F(x)\approx F'(x)\Delta x$ .

Переписываем уравнение в виде:
$\frac{\Delta V(t)}{u}=-\frac{\Delta(-\nu t)}{M_0-\nu t}=-\frac{\Delta(M_0-\nu t)}{M_0-\nu t}=-\Delta\ln(M_0-\nu t) $.
В результате
$\frac{V(t)}{u}=-\Delta\ln(M_0-\nu t)+const$.
Из начальных условий при $t=0$ следует
$0=-\Delta M_0+const$, так что окончательно
$V(t)=u\ln\frac{M_0}{M_0-\nu t} $.
Поскольку эта функция – возрастающая функция $t$, то максимальная значение скорость ракеты такая:
$V_{max}=u\ln\frac{M_0}{M_0-m}$.

Анализ решения
Если изменение массы ракеты мало $m\ll M_0$, то
$\ln\frac{M_0}{M_0-m}\approx\frac{m}{M_0}$, так что
$V_{max}\approx u\frac{m}{M_0}$.
Это - стандартный закон сохранения импульса в случае, когда покоящаяся масса $M_0+m$ «взрывается» и мгновенно разлетается на массу $m$, которая летит со скоростью $u$ противоположно массе $M_0$, получившей скорость $V_{max}$.
$M_0V_{max}=mu$. При этом скорость $u$ есть именно скорость относительно начальной скорости покоящейся массы $M_0+m$.

Уравнение реактивного движения можно переписать так
$M(t)\frac{\Delta\overrightarrow{V(t)}}{\Delta t}=\overrightarrow{F_{rf}}$,
где введена реактивная сила
$\overrightarrow{F_{rf}}=-\overrightarrow{u}\nu$.
Если дополнительно учесть силу тяжести, то
$M(t)\frac{\Delta\overrightarrow{V(t)}}{\Delta t}=\overrightarrow{F_{rf}}+M(t)\overrightarrow{g}$.
Это уравнение называют уравнением Мещерского.

Про законы Ньютона и их обобщение (минуты)
1.33-3.40; 10.07-12.30; 36.30-38.10;55.40-58.40

Про движение ракеты и реактивную тягу (минуты)
24.00-41.00

Решение задач на электростатику и электрический ток

16.02.2015 askhat

Сформулированы основные положения электростатики в виде, в котором их удобно использовать для решения задач на эту тему. Рассмотрены решения некоторых задач, в том числе основные идеи решения олимпиадных задач на расчет сопротивлений электрических схем.

Основные законы электростатики. Теор-минимум

Читать далее →

Сила упругости и гармонические колебания

04.02.2015 askhat

Уравнение гармонических колебаний и его решение:
$a_x+\omega_0^2x=0$ ,
$x(t)=A\cos \omega_0 t+B\sin \omega_0 t$ ,
$v_x(t)=\omega_0 (-A\sin\omega_0 t+ B\cos\omega_0 t )$ .
Для силы упругости: $\omega_0^2=k/m$ .

1. О силе упругости и коэффициенте жесткости: 01-14 мин.;
2. Решение уравнения гармонических колебаний: 14-36 мин.;
3. Уравнение гармонических колебаний и его решение для колебаний вертикально расположенной пружинки с грузом в поле тяжести. Частота колебаний в случае пружинки, полученной из исходной ее разрезанием пополам: 36-48 мин.;
4. Почему гармонические колебания играют важную роль и встречаются в различных областях физики, техники и других наук. Вывод частоты колебаний из энергии системы: 48-62 мин.;
5. Разные задачи с пружинкой: 1 час-1 час 45 мин.;
6. Задача на определение частоты гармонических колебаний системы грузов, соединенных невесомой штангой с точкой подвеса в поле тяжести: 1 час 45 мин до конца