Задачи предлагались на олимпиадах МИФИ 2005-2016 годов.
Все записи автора askhat
Курчатовская олимпиада МИФИ 2007. Физика
11 класс
Математический маятник
Прежде чем смотреть видео, попытайтесь самостоятельно
1. вывести уравнение движения математического маятника;
2. Решить задачи
Два способа решения задачи на механику
заряженного тела
Эту задачу удобно считать базовой по понятиям энергии магнитного поля и работы вихревого электрического поля.
Условие задачи
Длинный тонкостенный диэлектрический цилиндр массой M, радиуса R и длины l расположен горизонтально и может вращаться без трения вокруг своей оси. Цилиндр заряжен зарядом Q. На цилиндр намотана нить, ко второму концу которой привязан
груз массой m. Груз отпускают. С учетом явления самоиндукции найти ускорение груза.
Читать далее Два способа решения задачи на механику
заряженного тела
Задача с биссектрисой
Введение в теорию стохастических дифференциальных уравнений
Три задачи
на уравнения связи
и способы решения
МЕХАНИКА =
УРАВНЕНИЯ СВЯЗИ +
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ
Читать далее Три задачи
на уравнения связи
и способы решения
Задачи к лекциям по ТВ.
Элементарная комбинаторика
Задачи (утверждения), которые надо уметь решать (доказывать) на экзамене/зачете.
В РАБОТЕ !!!
>Теор
минимумЗадачи с
решениямиТипичные
задачиК зачету
экзамену
а) последовательность содержит ровно нуля, причем два из них находятся на концах последовательности,
б) последовательность содержит ровно m единиц,
в) в последовательности ровно нулей, единиц, двоек.
Решение.
A – начало последовательности никак не зависит от продолжения, поэтому P(A)=1/3
B – Последовательностей, которые начинаются и заканчиваются нулем, 1/9=1/3*1/3 от общего числа последовательностей. Всего таких последовательностей 3^{n-2}. Из них C_{n-2}^{m}*2^{n-m-2} содержат нули (n\geq m+2). Итого P(B)=(1/9)* C_{n-2}^{m}/3^{n-2}.
C – Если выбрать из n C_n^m , то их можно положить равными 1, тогда оставшихся наборов из n-m элементов (n\geq m), составленных из 0 и 2 будет 2^{n-m} штук. Всего требуемых наборов будет C_n^m*2^{n-m} штук. P(C)= C_n^m*2^{n-m}/3^n.
D – нули выбрать можно C_n^{m_0} способами. Из оставшихся n-m_0 элементов единицы можно выбрать C_{n-m_0}^{m_1} способами, а остальными и так будут двойки, т.к. m_0+m_1+m_2=n, так что всего имеем C_n^{m_0} C_{n-m_0}^{m_1} способов. P(D)= C_n^{m_0} C_{n-m_0}^{m_1}/3^n.
а) трёхзначных чисел бывает 9 • 10 • 10 = 900;
б) трёхзначных чисел, все цифры которых различны, существует 9 • 9• 8.
2. Найти количество различных результатов в следующих экспериментах:
а) из алфавита выбирают три разные буквы и составляют слово;
б) из различных ненулевых цифр составляют трёхзначное число;
3. Найти количество различных результатов в следующих экспериментах:
а) из колоды в 36 карт выдают три карты одному игроку;
б) из двадцати учеников класса выбирают троих дежурных.
4. Найти количество различных результатов в следующих экспериментах:
а) пятизначное число составляют из одних нечётных цифр.
б) обезьяна напечатала на машинке слово из десяти букв;
в) составляют слово длиной в 10 символов из нулей и единиц;
5. Найти:
а) количество способов разложить число в сумму целых неотрицательных слагаемых, если важен порядок следования слагаемых;
б) число возможных результатов подбрасывания двух игральных костей, если кости считаются неразличимыми. То же самое для трёх игральных костей.
2) Сколькими способами можно разместить n неразличимых между собой частиц в N различимых ячейках (ящиках), пронумерованных номерами от 1 до N.
>Теорминимум
Задачи на приращения, дифференциал и производные
Без уверенного владения техникой приращений
невозможно понимание физики !
Это - основной математический аппарат физики !
- Базовые задачи
.
,
. Итак
.
,
. Итак
,
.
,
. В результате
,
,
.
. Запишем полученное выражение как
.
Из формулы для суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии
, так что
.
Всего перемножается скобок. Если из каждой скобки взять по одному слагаемому и перемножить, то получим слагаемых. Среди них будет ровно штук вида . Почему? Чтобы получить слагаемое, содержащее ровно одну величину , надо только из одной скобки выбрать , а из оставшихся . Оставшихся скобок штука, а возможности выбора определяются числом скобок . Поэтому имеем
Здесь тремя точками обозначены слагаемые, содержащие в квадрате, кубе и т.д. до степени включительно. Главное - слагаемые, отмеченные тремя точками не содержат линейных по слагаемых! В результате имеем
,
,
. Множитель состоит из единицы и слагаемых, содержащие различные натуральные степени . Поэтому линейное по слагаемое в имеет вид
,
Как обычно, три точки обозначают слагаемые, содержащие степени не ниже второй от величины .
Как обычно, три точки обозначают слагаемые, содержащие в степенях 2, 3 и выше. Отсюда
Здесь под слагаемыми, обозначенными тремя точками можно считать слагаемые, содержащие множители в степенях, выше первой (т.е.2, 3, и т.д.), если предполагать справедливость разложения
Поэтому получаем
.
где тремя точками обозначены слагаемые, содержащие в степенях от второй и выше.
Рассмотрим приращение
Здесь нижний индекс у производной подчеркивает, что переменной, по которой берется производная, является именно . Три точки обозначают слагаемые, содержащие, по сравнению с выписанным слагаемым, более высокие степени . Если учесть представление для , то те три точки можно рассматривать как слагаемые, содержащие степени выше первой. В результате
, так что
.
где тремя точками обозначены слагаемые, содержащие в степенях от второй и выше.
Рассмотрим приращение
Тремя точками обозначены слагаемые, содержащие в квадрате, кубе и т.д. Подчеркнем, что это, вообще говоря, другие слагаемые, нежели в выписанных выше формулах. В результате имеем
,
.
Пусть . Имеем
.
Переобозначая переменную, получаем окончательно
.
.
. Откуда по формуле дифференцирования сложной функции : .
.
.
Обозначение семейства первообразных функции :
. Т.е., если – некоторая первообразная, то
. При этом
. Поэтому один из способом вычисления первообразных, который также используется для решения дифференциальных уравнений – это внесение под знак дифференциала функции в выражениях .
, но .
Последнее означает:
.
3 Некоторые частные случаи.
4 Некоторые часто встречающиеся случаи.
Т.е первообразные даются формулой
.
Проделайте то же для представления переменной через котангенс .
.
Т.е первообразные даются формулой
.
. Таким образом,
,
.
Проделайте то же для представления переменной через косинус .
Такое преобразование встречается при выводе выражения для энергии в релятивистской механике.
.
.
Здесь одно слагаемое уже представлено дифференциалом. Для другого слагаемого имеем:
,
так что
.
Такое преобразование встречается при выводе выражения для энергии в релятивистской механике. Найдите также другой способ решения этой задачи!
и их решенияСведение уравнений
к базовымТипичные
примеры
или для малых
или ,
или ,
то для имеем решение:
.
Элементарное доказательство
на подинтервалов, таких, что
являются малыми приращениями и для них выполнено условие
.
Тогда сумма последовательных приращений
Т.е. .
Отличие пропорционально сумме слагаемых, пропорциональных . Величина таких слагаемых порядка . Их число . Так что отличие стремится к нулю с ростом .
2 Если при для некоторых и и выполнено:
или для малых
или ,
или ,
то для имеем решение:
.
Величина, обозначенная как , в пунктах 1 и 2 разная ! Она находится из начальных условий задачи !
с начальными условиями . Здесь – постоянные величины.
Решение
Перепишем уравнение в виде равенства дифференциалов:
и сведем его базовому:
. Отсюда .
Константа не зависит от времени . Подставляя значения при :
. Отсюда .
Теперь запишем в дифференциалах уравнение :
. Отсюда
. Здесь другая постоянная, которая из начальных условий находится равной . Итак,
.
Получились формулы для равноускоренного движения !
2 Решить уравнение
с начальными условиями . Здесь – постоянные величины.
Решение путем сведения к базовым уравнениям
. Но , так что .
Отсюда . Находим, что
. Ограничиваясь определенной областью изменения , характеризуемой определенным знаком, например плюсом, снова записываем уравнение в дифференциалах:
.
С учетом полученных ранее результатов введем новую переменную по формуле
. Тогда , откуда , .
Вместо нахождения константы из этой формулы, лучше переписать решение как
,
,
откуда новые константы и легко находятся как
.
Читать далее Задачи на приращения, дифференциал и производные
О познании. Взгляд теоретика
О математике
Первоначальное развитие математики было обусловлено решением практических задач. В Древней Греции стал важным вопрос доказательства не только математических утверждений, но и философских. В схоластических спорах Средневековья отточилась формальная логика. В средних веках развилась алгебра. Эксперимент, схоластическая машина, абстрактные понятия и Великие географические открытия привели к научной революции Нового времени. Формулировка законов физики и решение физических задач стимулировало развитие математического анализа. Собственно математические проблемы всегда со временем отделяются от практических задач, их породивших, и рождают новые …
Рассудочное мышление у животных
Элементарная логическая задача
Для решения элементарных логических задач животным необходимо владение эмпирическими законами:
Д.И.Менделеев (1834-1907)